Thời điểm tạo hàm và biến đổi Fourier?

Hàm tạo thời điểm có phải là biến đổi Fourier của hàm mật độ xác suất không?

Nói cách khác, hàm tạo thời điểm có phải là độ phân giải phổ của phân bố mật độ xác suất của một biến ngẫu nhiên, nghĩa là một cách tương đương để mô tả hàm theo biên độ, pha và tần số thay vì theo tham số?

Nếu vậy, chúng ta có thể đưa ra một giải thích vật lý cho con thú này?

Tôi hỏi bởi vì trong vật lý thống kê, một hàm tạo tích lũy , logarit của hàm tạo mô men, là một đại lượng phụ gia đặc trưng cho một hệ thống vật lý. Nếu bạn nghĩ năng lượng là một biến ngẫu nhiên, thì hàm tạo tích lũy của nó có một cách hiểu rất trực quan là sự lan truyền năng lượng trong toàn hệ thống. Có một giải thích trực quan tương tự cho chức năng tạo khoảnh khắc?

Tôi hiểu tiện ích toán học của nó, nhưng nó không chỉ là một khái niệm lừa đảo, chắc chắn có ý nghĩa đằng sau nó về mặt khái niệm?

moments mgf cumulants

— bolbteppa
nguồn

Tôi tin rằng đó là chức năng đặc trưng giống với biến đổi Fourier hơn. Hàm tạo thời điểm là một biến đổi Laplace.

— Placidia

Thú vị: "Biến đổi Laplace có liên quan đến biến đổi Fourier, nhưng trong khi biến đổi Fourier giải quyết một chức năng hoặc tín hiệu thành các chế độ rung của nó, biến đổi Laplace giải quyết một chức năng thành các khoảnh khắc của nó" Princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs / Quang Sau đó, tôi đoán câu hỏi là - làm thế nào, bằng trực giác, một biến đổi Laplace có phân tách một hàm thành các khoảnh khắc của nó không, và có một cách giải thích hình học nào về điều này không?

— bolbteppa

Nó thực hiện điều đó nhờ vào việc mở rộng chuỗi Taylor của hàm số mũ.

— Placidia

Bây giờ mọi thứ gần như có ý nghĩa! Tuy nhiên, chính xác thì một khoảnh khắc, bằng trực giác là gì? Tôi biết điều này: "Nói rộng ra một khoảnh khắc có thể được xem xét làm thế nào một mẫu phân kỳ khỏi giá trị trung bình của tín hiệu - khoảnh khắc đầu tiên thực sự là trung bình, thứ hai là phương sai v.v ..." dsp.stackexchange.com/a/ 11032 Tuy nhiên, điều đó có nghĩa là gì bằng trực giác? Mẫu khi tính thời điểm 1/2 và 3/4 nói, x ^ 2 (lấy biến đổi Laplace của x ^ 2) là gì? Có một giải thích hình học?

— bolbteppa

MGF là

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

cho các giá trị thực của nơi kỳ vọng tồn tại. Xét về hàm mật độ xác suất , $t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

Đây không phải là biến đổi Fourier (sẽ có chứ không phải . $e^{itx}$ $e^{tx}$

Hàm tạo thời điểm gần như là một biến đổi Laplace hai mặt, nhưng biến đổi Laplace hai mặt có chứ không phải . $e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Brian Borchers
nguồn

+1 Ở một khía cạnh khác: hàm đặc trưng là hàm có liên quan chặt chẽ hơn với biến đổi Fourier (trong trường hợp đó, một lần nữa, có một vấn đề nhỏ của dấu trừ) - cf là , trong khi - tối đa các hằng số nhân - biến đổi Fourier thông thường sẽ là . Các kết nối này đôi khi khá hữu ích, chẳng hạn như tìm danh sách các thuộc tính hữu ích của các biến đổi Fourier hoặc Laplace thường mang trực tiếp hoặc có thể tra cứu các bảng biến đổi Fourier hoặc Laplace mở rộng khi tìm MGF hoặc cfs.

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

— Glen_b -Reinstate Monica

Và tất nhiên, thuộc tính hữu ích nhất là MGF của tổng hai biến ngẫu nhiên độc lập là sản phẩm của các hàm tạo thời điểm của chúng. Điều này tương đương với quy tắc biến đổi Fourier của tích chập hai hàm là sản phẩm của biến đổi Fourier của chúng.

— Brian Borchers