Lý thuyết giá trị cực đoan: Thông số GEV logic

Phân phối hợp lý thuộc về miền thu hút tối đa của Gumbel , trong đó:

$F^{logN}(x; \mu,\sigma)=\Phi\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$ ,

$F^{Gum}(x;\mu,\beta) = e^{-\exp\left({-\frac{x-\mu}{\beta}}\right)}$

Câu hỏi của tôi : Chúng ta có $\mu=\mu$ và $\sigma=\beta$ ?

Các phân phối tổng quát cực trị cũng sử dụng ký hiệu $\beta=\sigma$ (Gumbel là trường hợp giới hạn $\xi =0$ ), và so sánh CDF cho Standard-lognormal và Standard-Gumbel một lần nữa sẽ bao hàm các thông số trùng. Nhưng tôi không chắc về điều đó, bởi vì Gumbel là trường hợp giới hạn của Logn normal Maxima, do đó có thể có một số biến đổi của các tham số.

lognormal extreme-value

— emcor
nguồn

Hãy $X_i \sim_{\text{i.i.d}} \text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$ $\log X_i$ $\mu$ $\sigma$ $M_n := \max_{1 \leqslant i \leqslant n} X_i$ $a_n >0$ $b_n$

\begin{matrix} (1) & \frac{M_{n} - b_{n}}{a_{n}} \to Gum (0, 1) \end{matrix}

$\tag{1} \frac{M_n - b_n}{a_n} \to \text{Gum}(0, 1)$

trong đó biểu thị phân phối Gumbel với vị trí và scale . Điều này có nghĩa là cho tất cả . $\text{Gum}(\nu,\,\beta)$ $\nu$ $\beta$ $F_{M_n}(a_n x + b_n) \to F_{\text{Gum}}(x;\,0,\,1)$ $x$

Rõ ràng là hai chuỗi và phụ thuộc vào và , vì vậy chúng có thể được ký hiệu là và . Chẳng hạn, nếu được thay thế bằng thì phân phối của được thay thế bằng phân phối của và phân phối của được thay thế bằng , ngụ ý rằng và phải được thay thế bằng và để duy trì cùng giới hạn. Tương tự nếu chúng ta thay thế $a_n$ $b_n$ $\mu$ $\sigma$ $a_n(\mu,\,\sigma)$ $b_n(\mu,\,\sigma)$ $\mu$ $\mu +1$ $X_i$ $e X_i$ $M_n$ $e M_n$ $a_n$ $b_n$ $ea_n$ $eb_n$ $\mu$ bằng với không thay đổi, sẽ được thay thế bằng và sau đó và phải được thay thế bằng và . $0$ $\sigma$ $X_i$ $e^{-\mu} X_i$ $a_n$ $b_n$ $e^{-\mu} a_n$ $e^{-\mu}b_n$

Câu hỏi có thể được đặt ra là: nếu chúng ta sử dụng các chuỗi và ở phía bên trái của (1) - thay vì do và - chúng ta có nhận được ở phía bên tay phải không? Câu trả lời là không, bởi vì các tham số của Gumbel thực sự là các tham số vị trí và tỷ lệ, trong khi điều này không đúng với log-normal. Tham số của log-normal tác động đến đuôi, như có thể thấy bởi thực tế là hệ số biến đổi tăng theo . Trong khi luôn nằm trong miền thu hút của Gumbel, các chuỗi $a_n(0, 1)$ $b_n(0, \,1)$ $a_n(\mu,\,\sigma)$ $b_n(\mu,\,\sigma)$ $\text{Gum}(\mu,\,\sigma)$ $\sigma$ $\sigma$ $\text{LNorm}(\mu,\,\sigma)$ $a_n$ và phải có xu hướng nhanh hơn khi tăng. Có thể chứng minh rằng chúng ta có thể trong (1) sử dụng các chuỗi và sao cho xem Embrechts P., Klüppelberg C. và Mikosch T. bảng 3.4.4 Trang 155 -57. Nếu chúng tôi sử dụng chuỗi và sai , chúng tôi sẽ không nhận được giới hạn không suy biến cho phía bên trái của (1), vì tốc độ tăng trưởng của và sau đó không phù hợp với đuôi của $b_n$ $\infty$ $\sigma$ $a_n$ $b_n$

b_{n} (μ, σ) = e^{μ} b_{n} (0, 1)^{σ}, a_{n} (μ, σ) = σ (2 \log n)^{- 1 / 2} b_{n} (μ, σ),

$b_n(\mu, \sigma) = e^\mu \, b_n(0, 1)^\sigma, \qquad a_n(\mu, \sigma) = \sigma \,(2 \log n)^{-1/2} b_n(\mu,\,\sigma),$

a_{n}

$a_n$

b_{n}

$b_n$

σ

$\sigma$

a_{n}

$a_n$

b_{n}

$b_n$

X_{i}

$X_i$ .

— Yves
nguồn