theo Gaussian

Câu hỏi này được dẫn dắt từ câu hỏi sau đây. /math/360275/e1-1x2-under-a-n normal-phân phối

Về cơ bản, theo Gaussian . Tôi đã thử viết lại dưới dạng hỗn hợp vô hướng của Gaussian ( ). Điều này cũng dừng lại, trừ khi bạn có một mánh khóe dưới thắt lưng của bạn. $E\left(\frac{1}{1+x^2}\right)$ $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ $\frac{1}{1+x^2}$ $\propto \int\mathcal{N}(x|0,\tau^{-1})Ga(\tau|1/2,1/2)d\tau$

Nếu tích phân này không phân tích bất kỳ giới hạn hợp lý nào?

normal-distribution expected-value bounds

— sachinruk
nguồn

Tại sao bạn không thể làm giống như trong câu hỏi bạn liên kết đến? (ngụ ý nó không phải là phân tích (vì nó đánh giá erfc với một vài hằng số)

— seanv507

Bởi vì tôi không làm theo những gì anh ấy đã làm hoàn toàn. Ngoài ra erfc cũng ổn

— sachinruk

Câu trả lời:

Đặt là Bình thường PDF và là PDF của bản phân phối Student t với một df Bởi vì PDF của biến bình thường là (theo đối xứng), kỳ vọng bằng $f_\sigma(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left(-\frac{x^2}{2\sigma^2}\right)$ $(0,\sigma)$ $g(x) = \frac{1}{\pi}\left(1+x^2\right)^{-1}$ $(\mu,\sigma)$ $X$ $f_\sigma(x-\mu) = f_\sigma(\mu-x)$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = E_{σ, μ} (π g (X)) = \int_{R} f_{σ} ((μ - x)^{2}) π g (x) d x .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\pi g(X)\right) = \int_\mathbb{R} f_\sigma\left((\mu-x)^2\right) \pi g(x)dx.$

Đây là công thức xác định cho tích chập . Kết quả cơ bản nhất của phân tích Fourier là biến đổi Fourier của tích chập là sản phẩm của biến đổi Fourier . Hơn nữa, các hàm đặc trưng (cf) là (tối đa bội số phù hợp) Các biến đổi Fourier của PDF. Các cf của một Bình thường phân phối là $(f\star \pi g)(\mu)$ $(0,\sigma)$

{\hat{f}}_{σ} (t) = \exp (- t^{2} σ^{2} / 2)

$\widehat{f}_\sigma(t) = \exp(-t^2\sigma^2/2)$

và cf của phân phối t Student này là

\hat{g} (t) = \exp (- | t |) .

$\widehat{g}(t) = \exp(-|t|).$

(Cả hai có thể thu được bằng các phương pháp cơ bản.) Giá trị của biến đổi Fourier ngược của sản phẩm của họ tại , theo định nghĩa, $\mu$

\frac{1}{2 π} \int_{R} {\hat{f}}_{σ} (t) π \hat{g} (t) \exp (- i t μ) d t = \frac{1}{2} \int_{R} \exp (- t^{2} σ^{2} / 2 - | t | - i t μ) d t .

$\frac{1}{2\pi}\int_\mathbb{R} \widehat{f}_\sigma(t)\pi\widehat{g}(t) \exp(-i t \mu) dt =\frac{1}{2}\int_\mathbb{R} \exp(-t^2\sigma^2/2-|t|-i t \mu) dt.$

Tính toán của nó là cơ bản: thực hiện riêng rẽ trong các khoảng và để đơn giản hóađến và , tương ứng, và hoàn thành hình vuông mỗi lần. Các tích phân gần giống với CDF bình thường thu được - nhưng với các đối số phức tạp. Một cách để viết giải pháp là $(-\infty,0]$ $[0,\infty)$ $|t|$ $-t$ $t$

E_{σ, μ} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \frac{\sqrt{\frac{π}{2}} e^{- \frac{(μ + i)^{2}}{2 σ^{2}}} (e^{\frac{2 i μ}{σ^{2}}} erfc (\frac{1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) - erf (\frac{- 1 + i μ}{\sqrt{2} σ}) + 1)}{2 σ} .

$\mathbb{E}_{\sigma,\mu}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \frac{\sqrt{\frac{\pi }{2}} e^{-\frac{(\mu +i)^2}{2 \sigma ^2}} \left(e^{\frac{2 i \mu }{\sigma ^2}} \text{erfc}\left(\frac{1+i \mu }{\sqrt{2} \sigma }\right)-\text{erf}\left(\frac{-1+i\mu}{\sqrt{2} \sigma }\right)+1\right)}{2 \sigma }.$

Ở đây, là hàm lỗi bổ sung trong đó $\text{erfc}(z) = 1 - \text{erf}(z)$

erf (z) = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{z} \exp (- t^{2}) d t .

$\text{erf}(z) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^z \exp(-t^2)dt.$

Một trường hợp đặc biệt là mà biểu thức này giảm xuống còn $\mu=0, \sigma=1$

E_{1, 0} (\frac{1}{1 + X^{2}}) = \sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}}) = 0.65567954241879847154 \dots .

$\mathbb{E}_{1, 0}\left(\frac{1}{1+X^2}\right) = \sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=0.65567954241879847154\ldots.$

Đây là biểu đồ đường viền của (trên trục logarit cho ). $\mathbb{E}_{\sigma,\mu}$ $\sigma$

Nhân vật

— whuber
nguồn

+1. Lưu ý nhỏ: bằng cho tôi đồng ý với @ câu trả lời số của fabee.

\sqrt{\frac{e π}{2}} erfc (\frac{1}{\sqrt{2}})

$\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\text{erfc}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$

0.6556795424 \dots

$0.6556795424\ldots$

— COOLSerdash

Đẹp. Tôi thực sự hoàn toàn bỏ lỡ rằng đây là mật độ của tổng Gaussian và biến phân phối t (lên đến mức chuẩn hóa). +1 để lấy công thức chung cho tùy ý và .

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— fabee

@COOL Cảm ơn - Tôi đã sao chép câu trả lời sai. (Tôi đã thực hiện một số phép tính bằng số; cái tôi đã báo cáo sai thực sự là cho .) Tôi sẽ dán vào bên phải.

μ = 1, σ = 1 / 2

$\mu=1,\sigma=1/2$

— whuber

Đây là một ý tưởng làm thế nào để giải quyết nó bằng cách sử dụng danh tính đã được đề xuất bởi Did here . Bạn đã có thể sử dụng

\frac{1}{S} = \int_{0}^{\infty} \exp (- t S) d t

$\frac{1}{S}=\int_0^\infty \exp(-tS)dt$

\begin{aligned} E (\frac{1}{x^{2} + 1}) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{0}^{\infty} \int_{- \infty}^{\infty} \exp (- t (x^{2} + 1)) \exp (- \frac{x^{2}}{2}) d x d t \\ = \int_{0}^{\infty} \exp (- t) {(1 + 2 t)}^{- \frac{1}{2}} d t \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} {[erf (\sqrt{t + \frac{1}{2}})]}_{0}^{\infty} \\ = \sqrt{\frac{e π}{2}} (1 - erf (\sqrt{\frac{1}{2}})) \end{aligned}

$\begin{align}E\left(\frac{1}{x^2+1}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_0^\infty \int_{-\infty}^{\infty}\exp\left(-t(x^2+1)\right)\exp\left(-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm dx \mathrm dt\\ &=\int_0^\infty \exp\left(-t\right)\left(1+2t\right)^{-\frac{1}{2}} \mathrm dt\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left[\mbox{erf}\left(\sqrt{t+\frac{1}{2}}\right)\right]_0^\infty\\ &=\sqrt{\frac{e\pi}{2}}\left(1-\mbox{erf}\left(\sqrt{\frac{1}{2}}\right)\right)\end{align}$

— fabee
nguồn

+1 Đối với cách tiếp cận. Tuy nhiên, tôi tin rằng yếu tố không thuộc về kết quả.

1 / \sqrt{2 π}

$1/\sqrt{2\pi}$

— whuber

Đó là hằng số chuẩn hóa cho Gaussian (xuất phát từ kỳ vọng). Vì vậy, trừ khi tôi thiếu một cái gì đó, tôi nghĩ nó không thuộc về nơi đó.

\frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}$

— fabee

Bạn đã kết hợp chức năng lỗi với CDF Gaussian: chúng không giống nhau. Hãy thử tính toán số - bạn sẽ thấy lỗi.

— whuber

Bạn đã đúng, yếu tố đã sai. Nhưng nó đã xảy ra trước khi tôi sử dụng chức năng lỗi. Tôi đã tính toán kỳ vọng của wrt và quên xóa hằng số chuẩn hóa sau đó. Cảm ơn đã gợi ý.

\exp (- t x^{2})

$\exp(-t x^2)$

x

$x$

— fabee