Mô phỏng liên quan đến điều hòa trên tổng các biến ngẫu nhiên

Tôi đã đọc câu hỏi này và nghĩ về việc mô phỏng số lượng cần thiết. Vấn đề như sau: Nếu và B là iid tiêu chuẩn bình thường, E ( A 2 | A + B ) là gì? Vì vậy, tôi muốn mô phỏng E ( A 2 | A + B ) . (đối với giá trị được chọn là A + B )$A$$B$$E(A^2|A+B)$$E(A^2|A+B)$$A+B$

Tôi đã thử đoạn mã sau để đạt được điều này:

n <- 1000000
x <- 1 # the sum of A and B

A <- rnorm(n)
B <- rnorm(n)

sum_AB = A+B

estimate <- 1/sum(sum_AB==x) * sum( (A[sum_AB==x])^2 )

Vấn đề là hầu như không có giá trị sum_ABnào phù hợp x(trên các mô phỏng). Nếu tôi chọn một số phần tử từ sum_ABđó, thì nó thường là ví dụ duy nhất của giá trị của nó trong vectơ.

Nói chung, làm thế nào người ta có thể giải quyết vấn đề này và thực hiện một mô phỏng chính xác để tìm thấy một kỳ vọng về hình thức đã cho? ( và B có thể không nhất thiết phải được phân phối bình thường hoặc từ cùng một phân phối.)$A$$B$

Nhận xét của tôi trong luồng được tham chiếu gợi ý một cách tiếp cận hiệu quả: bởi vì và Y = A - B cùng bình thường với hiệp phương sai bằng 0, chúng độc lập, do đó mô phỏng chỉ cần tạo Y (có nghĩa là 0 và phương sai 2 ) và xây dựng A = $X=A+B$$Y=A-B$$Y$$0$$2$ . Trong ví dụ này, phân phối của A 2 | ( A + B = 3 $A = (X+Y)/2$$A^2|(A+B=3)$được kiểm tra bằng biểu đồ của giá trị mô phỏng.$10^5$

x <- 3
y <- rnorm(1e5, 0, sqrt(2))
a <- (x+y)/2
hist(a^2)

Kỳ vọng có thể được ước tính là

mean(a^2)

Câu trả lời sẽ có gần .$11/4 = 2.75$

$(A,B)$$(A,A+B=S)$$(A,S)$

Bạn có thể giải quyết vấn đề này bằng cách sử dụng các mẫu bootstrap. Ví dụ,

n <- 1000000

A <- rnorm(n)
B <- rnorm(n)
AB <- cbind(A,B)

boots <- 100
bootstrap_data <- matrix(NA,nrow=boots*n,ncol=2)


for(i in 1:boots){
    index <- sample(1:n,n,replace=TRUE)
    bootstrap_data[(i*n-n+1):(i*n),] <- cbind(A[index],B[index]) 
}

sum_AB <- bootstrap_data[,1] + bootstrap_data[,2]
x <- sum_AB[sample(1:n,1)]

idx <- which(sum_AB == x)

estimate <- mean(bootstrap_data[idx,1]^2)

Chạy mã này chẳng hạn, tôi có được những điều sau đây

> estimate
[1] 0.7336328
> x
[1] 0.9890429

$A+B=0.9890429$$E(A^2|A+B=0.9890429)=0.7336328$ .

Bây giờ để xác thực rằng đây sẽ là câu trả lời, chúng ta hãy chạy mã của trình duyệt trong giải pháp của anh ấy. Vì vậy, chạy mã của mình vớix<-0.9890429 kết quả như sau:

> x <- 0.9890429
> y <- rnorm(1e5, 0, sqrt(2))
> a <- (x+y)/2
> hist(a^2)
>
> mean(a^2)
[1] 0.745045

Và do đó, hai giải pháp rất gần gũi và trùng khớp với nhau. Tuy nhiên, cách tiếp cận vấn đề của tôi thực sự sẽ cho phép bạn nhập bất kỳ phân phối nào bạn muốn thay vì dựa vào thực tế là dữ liệu đến từ các phân phối bình thường.

Một giải pháp mạnh mẽ hơn thứ hai dựa trên thực tế là khi mật độ tương đối lớn, bạn có thể dễ dàng thực hiện một phép tính vũ phu như sau

n <- 1000000

x <- 3  #The desired sum to condition on

A <- rnorm(n)
B <- rnorm(n)
sum_AB <- A+B

epsilon <- .01
idx <- which(sum_AB > x-epsilon & sum_AB < x+epsilon)
estimate <- mean(A[idx]^2)

estimate

Chạy mã này, chúng tôi có được những điều sau đây

> estimate
[1] 2.757067

$A+B=3$$E(A^2|A+B=3)=2.757067$

Dường như với tôi rằng câu hỏi trở thành thế này:

1. Cách mô phỏng (X, Y) có điều kiện trên X + Y = k và sau đó
2. sử dụng monte carlo để ước tính EU (X, Y) cho một số hàm U (x, y)

hãy bắt đầu bằng cách xem xét lấy mẫu quan trọng :

$E V(Z_1) = \int V(z) f_1(z) = \int V(z) \frac{f_1(z)}{f_2(z)} f_2(z) = E V(Z_2)\frac{f_1(Z_2)}{f_2(Z_2)}$

$Z_1$$f_1(z)$$Z_2$$f_2(z)$

$z_i$$f_1$$\frac{1}{n} \sum_i V(z_i)$$z_i$$f_2$$\frac{1}{n} \sum_i V(z_i) \frac{f_1(z_i)}{f_2(z_i)}$

$U(x,y)=x^2$$(X,Y)$$\frac{f(x,y)}{\int_{x+y=k} f(x,y)}$$A = \int_{x+y=k} f(x,y)$

vì vậy bây giờ thủ tục là:

1. $g(x)$$X_i$
2. $Y_i=k-X_i$$g(x)I(x+y=k)$$I()$
3. $$\frac{1}{n} \sum_i U(x_i,y_i) \frac{f(x_i,y_i)}{A g(x_i)}$$