Lấy mật độ sau cho khả năng logic bất thường và trước đó của Jeffreys

Hàm khả năng của phân phối logic là:

$f(x; \mu, \sigma) \propto \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right )$

và Ưu tiên của Jeffreys là:

$p(\mu,\sigma) \propto \frac{1}{\sigma^2}$

Vì vậy, kết hợp cả hai cho:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

Tôi biết rằng mật độ sau cho là Gamma nghịch đảo được phân phối, vì vậy tôi phải tính toán$\sigma^2$

$f(\sigma^2|x) = \int f(\mu,\sigma^2|x) d\mu$

nhưng tôi không biết phải bắt đầu từ đâu

Sau bình luận của Glen_b, tôi cho nó một phát:

$f(\mu,\sigma^2|x)= \prod_{i_1}^n \frac{1}{\sigma x_i} \exp \left ( - \frac{(\ln{x_i} - \mu)^2}{2 \sigma^2} \right ) \cdot \sigma^{-2}$

$= \sigma^{-n-2} \prod_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \exp \left ( - \frac{1}{2\sigma^2} \sum_{i=1}^n (\ln x_i - \mu ) \right)$

nhưng tôi không thể thấy điều này đi đâu cả.

Một ý tưởng khác mà tôi có là định nghĩa $y_i=\ln(x_i)$ , sau đó $y$ được phân phối bình thường. Vì thế

$f(\mu,\sigma^2 |y) = \left [ \prod_{i=1}^n \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \cdot \frac{1}{\sigma} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} (y_i - \mu)^2 \right ) \right ] \cdot \frac{1}{\sigma^2}$

=σ-n-2⋅exp(-$\propto \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} \sum_{i=1}^n (y_i - \bar y)^2 + n(\bar y - \mu)^2 \right )$ =σ-n-2⋅exp(-$= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 + n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$ $= \sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \exp \left (n(\bar y - \mu)^2 ) \right )$

sau đó tích hợp:

$\sigma^{-n-2} \cdot \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right ) \int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu$

bằng phương pháp bạn đề nghị tôi nhận được:

$\int \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} n(\bar y - \mu)^2 ) \right ) d \mu = \sqrt{\frac{2\pi \sigma^2}{n}}$

Vì thế:

$\propto (\sigma^2)^{-(n+1)/2} \exp \left ( - \frac{1}{2 \sigma^2} ( (n-1)s^2 \right )$

mà thực sự là Gamma nghịch đảo phân phối.

Nhưng tôi không chắc liệu điều này có đúng không, đó cũng là kết quả tương tự như tôi nhận được cho một khả năng bình thường.

Tôi tìm thấy điều này trong tài liệu (không có thêm lời giải thích nào):

Lưu ý rằng - được coi là một hàm trong - những gì bạn có tỷ lệ thuận với mật độ bình thường.$\mu$

Vì vậy, bước 1 là để hoàn thành hình vuông trong đó là trong số mũ, kéo ra phía trước không thể thiếu bất kỳ hằng không cần thiết, và sau đó nhân với thuật ngữ trong không thể thiếu bởi hằng số cần thiết để làm cho nó tích hợp để 1. Sau đó chia ra phía trước tích phân bằng cùng một hằng số (vì vậy bạn không thay đổi giá trị của biểu thức tổng thể).$\mu$

Vì bạn có mật độ trong tích phân, thay thế số hạng trong tích phân bằng 1.

Bạn còn lại một chức năng của ( một chức năng đã thay thế bằng một cái gì đó gần giống với ước tính của nó).$\sigma$$\mu$

Bây giờ hãy xem mật độ cho một gamma nghịch đảo ở đây :

(trong trường hợp này, sử dụng tham số hóa hình dạng tỷ lệ).

Giả sử bạn có chính xác trước (tôi chưa kiểm tra điều đó) -

bạn tìm kiếm mật độ sau cho . Lưu ý rằng chức năng của bạn sau khi tích hợp có thể được viết dưới dạng .$\sigma^2$$c\cdot(\sigma^2)^{-\text{something}}\cdot\exp(-\text{something-else}/\sigma^2)$

Vì vậy, bạn có một biểu thức tỷ lệ thuận với mật độ gamma nghịch đảo trong . (Vì nó phải là mật độ, cung cấp hằng số cần thiết để làm cho nó tích hợp thành 1.)$\sigma^2$