Công cụ ước tính không thiên vị với phương sai tối thiểu cho

Đặt là một mẫu ngẫu nhiên trong phân phối cho . I E, $X_1, ...,X_n$ $Geometric(\theta)$ $0<\theta<1$

p_{θ} (x) = θ (1 - θ)^{x - 1} I_{{1, 2, . . .}} (x)

$p_{\theta}(x)=\theta(1-\theta)^{x-1} I_{\{1,2,...\}}(x)$

Tìm công cụ ước tính không thiên vị với phương sai tối thiểu cho $g(\theta)=\frac{1}{\theta}$

Nỗ lực của tôi:

Vì phân phối hình học là từ họ hàm mũ, nên số liệu thống kê là đầy đủ và đủ cho . Ngoài ra, nếu là công cụ ước tính cho , thì nó không thiên vị. Do đó, theo định lý Rao-Blackwell và Định lý Lehmann-Scheffé, là công cụ ước tính mà chúng tôi đang tìm kiếm.

\sum X_{i}

$\sum X_i$

θ

$\theta$

T (X) = X_{1}

$T(X)=X_1$

g (θ)

$g(\theta)$

W (X) = E [X_{1} | \sum X_{i}]

$W(X) = E[X_1|\sum X_i]$

Chúng tôi có những điều sau đây:

$W(X) = \sum_{i=1}^t i\, P(X_1=i|\sum X_i =t) = \sum_{i=1}^t i\, \frac{P(\sum_{i \geq 2} X_i =t-i)P(X_1=i)}{P(\sum_{i \geq 1}X_i =t)}$

Vì các biến là iid hình học, các phân phối tổng là cả hai nhị thức âm. Nhưng tôi đang gặp khó khăn trong việc xác định các hệ số nhị thức và đưa ra câu trả lời cuối cùng với hình thức tốt hơn, nếu có thể. Tôi rất vui nếu tôi có thể nhận được sự giúp đỡ.

Cảm ơn!

Chỉnh sửa: Tôi không nghĩ các bạn hiểu nghi ngờ của tôi: Tôi nghĩ rằng tôi đã thực hiện tất cả các bước chính xác, có lẽ chỉ quên một số chức năng chỉ báo. Đây là những gì tôi đã làm:

. . . = \sum_{i = 1}^{t} i \frac{(\binom{t - i - 1}{n - 2}) θ^{n - i} (1 - θ)^{t - i - n + 1} θ (1 - θ)^{i - 1}}{(\binom{t - 1}{n - 1}) θ^{n} (1 - θ)^{t - n}} = \sum_{i = 1}^{t} i \frac{(\binom{t - i - 1}{n - 2})}{(\binom{t - 1}{n - 1})}

$...=\sum_{i=1}^ti\frac{\binom{t-i-1}{n-2}\theta^{n-i}(1-\theta)^{t-i-n+1} \theta(1-\theta)^{i-1}}{\binom{t-1}{n-1}\theta^n(1-\theta)^{t-n}}=\sum_{i=1}^t i \frac{\binom{t-i-1}{n-2}}{\binom{t-1}{n-1}}$

Như tôi đã nói, tôi gặp khó khăn để đơn giản hóa điều này và với chỉ số mơ hồ

— Giaguanna
nguồn

Thật vậy, đối với phương sai hình học , , và định lý Rao-Blackwell ngụ ý rằng là công cụ ước lượng không thiên vị tối thiểu duy nhất. Nhưng thay vì cố gắng tính trực tiếp kỳ vọng có điều kiện này, người ta có thể nhận xét rằng do đó Lưu ý, tình cờ, rằng, kể từ khi ${\cal G}(\theta)$ $X$

E_{θ} [X] = 1 / θ = g (θ)

$\mathbb{E}_\theta[X]=1/\theta=g(\theta)$

\hat{θ} (T) = E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T]

$\hat{\theta}(T)=\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \dots = E_{θ} [X_{n} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T]

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\ldots=\mathbb{E}_\theta\left[X_n\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} E_{θ} [X_{i} | \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = T] = \frac{T}{n}

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}_\theta\left[X_i\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{T}{n}$

\sum_{j \geq 2} X_{j}

$\sum_{j\ge 2} X_j$ là một nhị thức âm do đó tổng cuối cùng be

N e g (n - 1, θ)

$\cal{N}eg(n-1,\theta)$

P (\sum_{j \geq 2} X_{j} = m) = (\binom{m - 1}{n - 2}) θ^{n - 1} (1 - θ)^{m - n + 1} I_{m > n - 1}

$\mathbb{P}\left(\sum_{j\ge 2} X_j=m\right)={m-1\choose n-2}\theta^{n-1}(1-\theta)^{m-n+1}\mathbb{I}_{m>n-1}$

\sum_{i = 1}^{t - n + 1} i (\binom{t - i - 1}{n - 2}) / (\binom{t - 1}{n - 1})

$\sum_{i=1}^{t-n+1} i {\binom{t-i-1}{n-2}}\bigg/{\binom{t-1}{n-1}}$

— Tây An
nguồn