Một bằng chứng cho sự ổn định của AR (2)

Hãy xem xét một bình làm trung tâm AR (2) quá trình

$$X_t=\phi_1X_{t-1}+\phi_2X_{t-2}+\epsilon_t$$ nơi $\epsilon_t$ là tiêu chuẩn trắng quá trình tiếng ồn. Chỉ vì lợi ích của sự đơn giản hãy để tôi gọi $\phi_1=b$ và . Tập trung vào các gốc của phương trình đặc trưng Tôi có Các điều kiện cổ điển trong sách giáo khoa như sau:z 1 , 2 = - b ± $\phi_{2}=a$ { | một | < 1 a ± b < $$z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2+4a}}{2a}$$ $$\begin{cases}|a|<1 \\ a\pm b<1 \end{cases}$$ Tôi đã cố gắng giải quyết bằng tay (với sự trợ giúp của Mathicala) sự bất bình đẳng về gốc rễ, tức là hệ thống chỉ nhận được Có thể khôi phục điều kiện thứ ba ( ) hai giải pháp trước cho nhau nhận được mà thông qua một số cân nhắc ký hiệu trở thành ? Hay tôi đang thiếu một giải pháp?a±b<1| một| <1một+b+một-b<2⇒một<1| một| < $$\begin{cases}|\frac{-b-\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1 \\ |\frac{-b+\sqrt{b^2+4a}}{2a}|>1\end{cases}$$ $$a \pm b<1$$ $|a|<1$$a+b+a-b<2 \Rightarrow a<1$$|a|<1$

Tôi đoán là phương trình đặc trưng mà bạn đang khởi hành khác với tôi. Hãy để tôi tiến hành một vài bước để xem chúng tôi có đồng ý không.

Hãy xem xét các phương trình

$$\lambda^2-\phi_1\lambda-\phi_2=0$$

Nếu $z$ là một thư mục gốc của "tiêu chuẩn" phương trình đặc trưng $1-\phi_1 z-\phi_2 z^2=0$ và thiết lập $z^{-1}=\lambda$ , mẹ thực sự nắm hiển thị từ viết lại một tiêu chuẩn như sau:

$$\begin{eqnarray*} 1-\phi_1 z-\phi_2 z^2&=&0\\ \Rightarrow z^{-2}-\phi_1 z^{-1}-\phi_2 &=&0\\ \Rightarrow \lambda^2-\phi_1\lambda -\phi_2 &=&0 \end{eqnarray*}$$ Do đó, một điều kiện thay thế cho sự ổn định của$AR(2)$là tất cả các gốc của màn hình đầu tiên nằmtrongvòng tròn đơn vị,$|z|>1 \Leftrightarrow |\lambda|=|z^{-1}|<1$.

Chúng tôi sử dụng biểu diễn này để rút ra tam giác cân bằng của quy trình $AR(2)$ , nghĩa là $AR(2)$ ổn định nếu đáp ứng ba điều kiện sau:

1. $\phi_2<1+\phi_1$
2. $\phi_2<1-\phi_1$
3. $\phi_2>-1$

Nhớ lại rằng bạn có thể viết các rễ của màn hình đầu tiên (nếu thật) như

$$\lambda_{1,2}=\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}$$ để tìm hai điều kiện đầu tiên.

Sau đó, $AR(2)$ là văn phòng phẩm $|\lambda|<1$ , do đó (nếu $\lambda_i$ là có thật):

$$\begin{eqnarray*} -1<\frac{\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}}{2}&<&1\\ \Rightarrow -2<\phi_1\pm\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 \end{eqnarray*}$$ càng lớn của hai$\lambda_i$giáp$\phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}<2$, hoặc: $$\begin{eqnarray*} \phi_1+\sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2\\ \Rightarrow \sqrt{\phi_1^2+4\phi_2}&<&2 - \phi_1\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&(2 - \phi_1)^2\\ \Rightarrow \phi_1^2+4\phi_2&<&4 - 4\phi_1+\phi_1^2\\ \Rightarrow \phi_2&<&1 - \phi_1 \end{eqnarray*}$$ Tương tự, chúng ta thấy rằng$\phi_2<1 + \phi_1$.

Nếu $\lambda_i$ là phức tạp, sau đó $\phi_1^2<-4\phi_2$ và do đó

$$\lambda_{1,2} = \phi_1/2\pm i\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2.$$ $$\lambda^2 = (\phi_1/2)^2 + \left(\sqrt{-(\phi_1^2+4\phi_2)}/2\right)^2 = \phi_1^2/4-(\phi_1^2+4\phi_2)/4 = -\phi_2.$$ $|\lambda|<1$$-\phi_2<1$$\phi_2>-1$$\phi_2<1$$\phi_2^2<1$$\phi_2<1+\phi_1$$\phi_2<1-\phi_1$.)

Plotting the stationarity triangle, also indicating the line that separates complex from real roots, we get

Produced in R using

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)