Các thông số của một hậu thế Wishart-Wishart là gì?


12

Khi suy ra ma trận chính xác của một phân phối bình thường được sử dụng để tạo các vectơ chiều chúng ta thường đặt một Wishart trước hơn vì phân phối Wishart là liên hợp trước giới hạn của phân phối chuẩn nhiều biến số với phương sai đã biết và phương sai chưa biết: nơi \ upsilonbậc tự do\ boldsymbol {\ Lambda_0} sựΛNx1,..,xN

xiN(μ,Λ1)
Λ
ΛW(υ,Λ0)
υΛ0ma trận tỷ lệ . Để thêm mạnh mẽ và linh hoạt cho mô hình, chúng tôi đặt một siêu nhân lên trên các tham số của Wishart. Chẳng hạn, Görür và Rasmussen đề xuất: \ started {align} \ mathbf {\ Lambda_0} & \ sim \ mathcal {W} (D, \ frac {1} {D} \ boldsymbol {\ Lambda_x}) \ \ frac { 1} {\ upsilon-D + 1} & \ sim \ mathcal {G} (1, \ frac {1} {D}) \\ \ end {align}
Λ0W(D,1DΛx)1υD+1G(1,1D)
trong đó G là phân phối Gamma.

Câu hỏi:

để lấy mẫu sau của p ( Λ 0 | X , Λ , υ , D , Λ x ) W ( Λ | υ , Λ 0 ) W ( Λ 0 |Λ0

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)

gia đình và các thông số của hậu thế này là gì?

Tái bút

Bỏ tất cả các yếu tố không phụ thuộc vào và xác định các tham số bằng các tham số của Wihsart Tôi nhận được một Wishart với các tham số: started υ 'Λ0

υ=υ+DΛ=Λ+Λx

Trông khá đẹp, nhưng tôi không tự tin chút nào vì tôi không tìm thấy bất kỳ ví dụ nào cả trên sách lẫn internet.

Erratum :

Görur và Rasmussen đề xuất các siêu nhân đó qua các tham số Wishart, nhưng phương trình này: started

ΛW(υ,Λ0)

nên thay vào đó:

ΛW(υ,Λ01)

do đó giải quyết sự thiếu liên hợp. Nếu chúng tôi muốn giữ thì chúng tôi nên sử dụng Inverse Wishart như trước (xem câu trả lời của @ Xi'an)Λ0

Câu trả lời:


5

Sản phẩm của hai mật độ trong dẫn đến

p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)W(Λ|υ,Λ0)W(Λ0|D,1DΛx)
p(Λ0|X,Λ,υ,D,Λx)|Λ0|υ/2exp{tr(Λ01Λ)/2}×|Λ0|(Dp1)/2exp{Dtr(Λx1Λ0)/2}|Λ0|(Dυp1)/2exp{tr(Λ01Λ+DΛx1Λ0)/2},

mà dường như không phải là một mật độ tiêu chuẩn. Để giữ liên hợp các loại, thứ bậc bên phải trước phải là một cái gì đó giống như Λ0
Λ0IW(Λ0|D,1DΛx).

1
Cảm ơn gợi ý @ Xi'an!, Trên thực tế, tham số trong khả năng sẽ là (lỗi của tôi, xem chỉnh sửa). Tôi chỉ đăng một câu trả lời bằng cách này và giữ Wishart * Wishart. Λ01
alberto

6

Ok, nhờ câu trả lời @ Xi'an tôi có thể tạo ra toàn bộ phái sinh. Tôi sẽ viết nó cho một trường hợp chung: trong đó là chìa khóa để liên hợp. Nếu chúng ta muốn sử dụng thì nên là:

W(W|υ,S-1)×W(S|υ0,S0)
S-1S
W(W|υ,S)×TôiW(S|υ0,S0)

Tôi đang thực hiện trường hợp đầu tiên (vui lòng sửa lại cho tôi nếu tôi sai):

W(W|υ,S1)×W(S|υ0,S0)|S|υ/2exp{12tr(SW)}×|S|υ0D12exp{12tr(S01S)}|S|υ+υ0D12exp{12tr((W+S01)S)}

trong đó chúng tôi đã sử dụng thực tế là . Bằng cách kiểm tra, chúng tôi thấy rằng đây là bản phân phối Wishart: tr(SW)=tr(WS)

p(S|)=W(υ+υ0,(W+S01)1)

Tiện ích mở rộng cho rút raNW1...WN :

Đối với trường hợp khi chúng ta có ma trận chính xác thì khả năng trở thành sản phẩm của khả năng và chúng ta nhận được:NN

p(S|)=W(Nυ+υ0,(i=1NWi+S01)1)
Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.