Đạo hàm thú vị của R bình phương

Nhiều năm trước tôi đã tìm thấy danh tính này thông qua thử nghiệm chơi với dữ liệu và biến đổi. Sau khi giải thích cho giáo sư thống kê của tôi, anh ta đến lớp tiếp theo với một bằng chứng một trang bằng cách sử dụng ký hiệu vectơ và ma trận. Thật không may tôi bị mất giấy anh ấy đưa cho tôi. (Điều này đã trở lại vào năm 2007)

Có ai có thể xây dựng lại một bằng chứng?

Đặt là các điểm dữ liệu ban đầu của bạn. Xác định một tập hợp các điểm dữ liệu mới bằng cách xoay tập hợp gốc theo góc ; gọi những điểm này . $(x_i,y_i)$ $\theta$ $(x'_i,y'_i)$

Giá trị bình phương R của tập hợp điểm gốc bằng với sản phẩm âm của đạo hàm tương ứng với của nhật ký tự nhiên của độ lệch chuẩn cho mỗi tọa độ của tập hợp điểm mới, mỗi điểm được đánh giá tại $\theta$ $\theta=0$

$r^2= - \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{x'})\right|_{\theta=0} \right) \left(\left.\frac{d}{d\theta}\ln(\sigma_{y'})\right|_{\theta=0} \right)$

regression r-squared

— sheppa28
nguồn

Đạo hàm không phải là bài tập đặc biệt thú vị của thao tác biểu tượng. Vì, và

\begin{aligned} {\frac{d x^{'}}{d θ} |}_{θ = = 0} & = = - y, \\ {\frac{d y^{'}}{d θ} |}_{θ = = 0} & = = x, \end{aligned}

$\begin{align} \left.\frac{dx'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=-y,\\ \left.\frac{dy'}{d\theta}\right|_{\theta=0}&=x, \end{align}$

s_{x}^{2} = \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}

$s_x^2=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$

{\frac{d S_{x^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = = 0} = = - 2 S_{x y}

$\left.\frac{ds_{x'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=-2s_{xy}$

{\frac{d S_{y^{'}}^{2}}{d θ} |}_{θ = = 0} = = 2 S_{x y}

$\left.\frac{ds_{y'}^2}{d\theta}\right|_{\theta=0}=2s_{xy}$

{\frac{d}{d θ} \ln (S_{x^{'}}) |}_{θ = = 0} = = - \frac{S_{x y}}{S_{x}^{2}}, {\frac{d}{d θ} \ln (S_{y^{'}}) |}_{θ = = 0} = = \frac{S_{x y}}{S_{y}^{2}}

$\left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{x'})\right|_{\theta=0} = -\frac{s_{xy}}{s_x^2},\quad \left.\frac{d}{d\theta}\ln(s_{y'})\right|_{\theta=0} = \frac{s_{xy}}{s_y^2}$ và kết quả như sau .

Tôi tò mò muốn biết làm thế nào bạn đưa ra phương trình như vậy, đặc biệt là thí nghiệm cụ thể nào đã tiết lộ danh tính như vậy.

— Khashaa
nguồn

Cảm ơn! Điều này thực sự đơn giản hơn nhiều so với bằng chứng mà tôi nhớ. Danh tính xuất hiện chỉ bằng cách chơi với dữ liệu năm trước; Đối với các cú đá, tôi chỉ thực hiện các phép quay, độ lệch chuẩn, đạo hàm, logarit, thêm, nhân, v.v. Đôi khi họ vượt qua, nhưng ở góc độ 'kỳ lạ'; đôi khi không bao giờ vượt qua. Sau đó bằng cách nào đó họ vượt qua tại theta = zero. Nghĩ rằng đó là thú vị. Đã thử nó với dữ liệu ngẫu nhiên khác và nó vẫn được giữ. Tôi không thấy nó hoạt động như thế nào, nhưng nghĩ danh tính gọn gàng.

— sheppa28