Hiệu quả hoặc không đủ

Hãy xem xét một mẫu ngẫu nhiên trong đó là các biến ngẫu nhiên trong đó . Kiểm tra xem có phải là thống kê đủ cho . $\{X_1,X_2,X_3\}$ $X_i$ $Bernoulli(p)$ $p\in(0,1)$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$ $p$

Đầu tiên, làm thế nào chúng ta có thể tìm thấy phân phối cho ? Hoặc nên chia nhỏ thành và sau đó điều này sẽ theo ? Tôi nghĩ không phải vì lưu ý rằng tất cả các biến không độc lập ở đây. $(X_1+2X_2+X_3)$ $X_1+X_2+X_2+X_3$ $Bin(4,p)$

Cách khác, nếu tôi sử dụng điều kiện nhân tố hóa bằng cách chỉ xem xét pmf chung của thì trong đó . $(X_1,X_2,X_3)$ $f(X_1,X_2,X_3)=p^{x_1+x_2+x_3}(1-p)^{3-(x_1+x_2+x_3)}=[p^{t(x)}(1-p)^{3-t(x)}]p^{-x_2}(1-p)^{x_2}$ $t(x)=x_1+2x_2+x_3$

Điều này cho thấy là không đủ. $T$

Nhưng nếu tôi muốn làm theo định nghĩa và muốn áp dụng để kiểm tra xem tỷ lệ này có độc lập với không? Sau đó tôi cần biết phân phối của . Vậy thì, phân phối của gì? $\dfrac{f(X|p)}{g(T(X)|p)}$ $p$ $g$ $T(X)=X_1+2X_2+X_3$

inference point-estimation sufficient-statistics

— Landon Carter
nguồn

Gợi ý: Bạn không cần biết phân phối đầy đủ của . Ví dụ, xem xét trường hợp : phân phối xác suất có điều kiện của gì?

T (X)

$T(X)$

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X | T (X) = 2)

$(X|T(X)=2)$

— whuber

Nếu thì . Vậy phụ thuộc vào , đúng không?

T (X) = 2

$T(X)=2$

(X_{1}, X_{2}, X_{3}) \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)}

$(X_1,X_2,X_3)\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}$

P (X | T (X) = 2) = p^{2} (1 - p) + p (1 - p)^{2} = p (1 - p)

$P(X|T(X)=2)=p^2(1-p)+p(1-p)^2=p(1-p)$

p

$p$

— Landon Carter

Đó là ý tưởng đúng - nhưng tôi không hiểu tại sao bạn lại thêm hai xác suất. Không phải là một vectơ sao? (Nếu bạn thích, bạn có thể sử dụng cùng loại tính toán để tìm phân phối đầy đủ của (nó chỉ có thể đạt được các giá trị ), nhưng điều đó không còn cần thiết nữa phải không? ))

X

$X$

T (X)

$T(X)$

0, 1, 2, 3, 4

$0,1,2,3,4$

— whuber

Vâng, đúng rồi. Cảm ơn! Vì vậy, một khi chúng tôi cho thấy tỷ lệ này không độc lập với trong ít nhất một lần mẫu, thì chúng tôi đã hoàn tất! Cảm ơn bạn. Và CHÚC MỪNG NĂM MỚI :)

p

$p$

— Landon Carter

Có là một vectơ, nhưng quan trọng hơn là và xác suất . Xin hãy sửa tôi nếu tôi sai.

X

$X$

X = (X_{1}, X_{2}, X_{3})

$X=(X_1,X_2,X_3)$

P (X | T (X) = 2) = P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0))

$P(X|T(X)=2)=P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))$

— Landon Carter

Tôi đã có một cuộc thảo luận với "whuber" và có lẽ tôi đã có một gợi ý (chính xác?) Để xem xét bất kỳ điểm mẫu nào: đánh giá tại điểm mẫu và kiểm tra xem tỷ lệ này có độc lập với tham số không, trong trường hợp này là . $\dfrac{P(X=x)}{P(T(X)=T(x))}$ $x$ $p$

Vậy lấy rồi . Vì vậy, chúng tôi đánh giá .Now,Do thuộc tính iid,Ngoài ra $x=(1,0,1)$ $T(1,0,1)=2$ $\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}$

T (X) = 2 iff X \in {(1, 0, 1), (0, 1, 0)} .

$T(X)=2 \text{ iff } X\in\{(1,0,1),(0,1,0)\}.$

P (X = (1, 0, 1)) = p^{2} (1 - p) and P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p)^{2} .

$P(X=(1,0,1))=p^2(1-p)\text{ and }P(X=(0,1,0))=p(1-p)^2.$

P (T (X) = 2) = P (X = (1, 0, 1)) + P (X = (0, 1, 0)) = p (1 - p) .

$P(T(X)=2)=P(X=(1,0,1))+P(X=(0,1,0))=p(1-p).$

Do đó rõ ràng phụ thuộc vào , và do đó không phải là một thống kê đầy đủ.

\frac{P (X = (1, 0, 1))}{P (T (X) = 2)} = \frac{p^{2} (1 - p)}{p (1 - p)} = p

$\dfrac{P(X=(1,0,1))}{P(T(X)=2)}=\dfrac{p^2(1-p)}{p(1-p)}=p$

p

$p$

T

$T$

— Landon Carter
nguồn