Phân phối tối đa của một cặp rút iid là bao nhiêu, trong đó mức tối thiểu là một thống kê thứ tự của các cực tiểu khác?

Xem xét $n\cdot m$ rút ra độc lập từ cdf $F(x)$, được định nghĩa trên 0-1, trong đó $n$ và $m$là số nguyên. Tự ý nhóm các trận hòa vào$n$các nhóm có giá trị m trong mỗi nhóm. Nhìn vào giá trị tối thiểu trong mỗi nhóm. Lấy nhóm có điểm cực tiểu lớn nhất. Bây giờ, phân phối xác định giá trị tối đa trong nhóm đó là gì? Tổng quát hơn, phân phối cho$j$thống kê thứ tự của $m$ rút ra $F(x)$, trong đó thứ tự thứ k của những m đó rút ra cũng là thứ tự thứ n của n số rút ra của thống kê thứ k đó?

Tất cả điều đó là trừu tượng nhất, vì vậy đây là một ví dụ cụ thể hơn. Xem xét 8 trận hòa$F(x)$. Nhóm chúng thành 4 cặp 2. So sánh giá trị tối thiểu trong mỗi cặp. Chọn cặp có giá trị cực tiểu trong 4 cực tiểu này. Nhãn vẽ "a". Dán nhãn giá trị khác trong cùng cặp đó là "b". Phân phối là gì$F_b(b)$? Chúng tôi biết$b>a$. Chúng tôi biết a là tối đa 4 mức tối thiểu$F(x)$, của $F_a(a) = (1-(1-F(x))^2)^4$. Những gì là$F_b(b)$?

Tôi trả lời điều này: "Tự ý nhóm các lần rút thành n nhóm với giá trị m trong mỗi nhóm. Hãy xem giá trị tối thiểu trong mỗi nhóm. Lấy nhóm có giá trị cực tiểu lớn nhất. Bây giờ, phân phối xác định giá trị tối đa là gì trong nhóm đó? "
Để cho$X_{i,j}$ biến ngẫu nhiên thứ i trong nhóm j và $f(x_{i,j})$ ($F(x_{i,j})$) hàm mật độ (cdf) của nó.
Để cho$X_{\max,j}, X_{\min,j}$tối đa và tối thiểu trong nhóm . Đặt biến dẫn đến kết thúc của tất cả quá trình. Chúng tôi muốn tính là Bây giờ, hãy để và . $j$$X_{final}$$P(X_{final}<x)$

$$P(X_{\max,j_0}<x \hbox{ and } X_{\min,j_0}=\max_j{X_{\min,j}} \hbox { and } 1\leq j_0\leq n)$$ $$=nP(X_{max,1}<x \hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x\hbox{ and } X_{1,1}=\max_i(X_{i,1})\hbox{ and } X_{\min,1}=\max_j{X_{\min,j}})$$ $$=nmP(X_{1,1}<x, X_{1,1}>X_{2,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j},\ldots,X_{1,1}>X_{m,1}>\max_{j=2\ldots n} X_{min,j})$$ $Y=\max_{j=2\ldots n} X_{min,j}$$W=X_{1,1}$

Một lời nhắc: nếu là iid với pdf (cdf) ( ), thì có pdf và có pdf . Sử dụng cái này, chúng ta nhận được pdf của là $X_1,\ldots X_n$$h$$H$$X_{\min}$$h_{\min}=nh(1-H)^{n-1}$$X_{\max}$$h_{max}=nhH^{n-1}$
$Y$

$$g(y)=(n-1)mf(1-F)^{m-1}[\int_0^y mf(z)(1-F(z))^{m-1} dz]^{n-2},n\geq 2$$

Lưu ý rằng là số liệu thống kê độc lập với nhóm 1 nên mật độ khớp của nó với bất kỳ biến nào trong nhóm 1 là sản phẩm của mật độ. Bây giờ xác suất trên trở thành Bằng cách lấy đạo hàm của wrt tích phân này và sử dụng công thức nhị thức, chúng ta thu được pdf của . $Y$

$$nm\int_0^x f(w)[\int_0^w \int_y^w f(x_{2,1})dx_{2,1}\ldots\int_y^w f(x_{m,1})dx_{m,1}g(y)dy]dw$$ $$=nm\int_0^x f(w)[\int_0^w (F(w)-F(y))^{m-1}g(y)dy]dw$$ $x$$X_{final}$

Ví dụ: là đồng nhất, , . Khi đó$X$$n=4$$m=3$

$$g(y)=9(1-y)^2(3y+y^3-3y^2)^2,$$

$$P(X_{final}<x)=(1/55)x^{12}-(12/55)x^{11}$$ $$+ (6/5)x^{10}-(27/7)x^9+(54/7)x^8-(324/35)x^7+(27/5)x^6.$$

Giá trị trung bình của là và sd của nó là .$X_{final}$$374/455=0.822$$0.145$

Vì các lần rút là từ một mẫu iid, chúng tôi chỉ có thể xem xét rút thăm được chọn. Xét . Bây giờ chúng ta biết rằng là từ và . Vì thế,$f(x) = \frac{d F(x)}{dx}$$b$$f(x)$$b>a$

$$p(b|a) = \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y) dy} \forall b>a, 0 \text{ otherwise}.$$

tối thiểu trong một lần rút là hai là $m$

$$p_2(m) = f(m)\int_m^1f(y) dy.$$

Tối thiểu lớn nhất trong số 4 trận hòa sẽ là

$$p(a) = p_2(a)\left[\int_0^a p_2(z) dz\right]^3 = f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3.$$

Cuối cùng thì,

$$p(b) = \int_0^1 \left[u(a) \frac{f(b)}{\int_a^1 f(y)dy} f(a)\int_a^1f(x) dx \left[\int_0^af(y)\left(\int_y^1f(z)dz\right) dy \right]^3 \right] da.$$