Giới hạn trên

là một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể lấy các giá trị từ . Kể từ là một hàm lồi, chúng ta có thể sử dụng Bất đẳng thức Jensen để lấy được mộtthấp hơnbị ràng buộc: $X$ $(0,1)$ $\varphi(x)=1/x$ Có thể lấy đượcgiớihạntrênkhông?

E [\frac{1}{1 - X}] \geq \frac{1}{1 - E [X]} = \frac{1}{1 - a}

$E\left[\frac{1}{1-X}\right]\ge \frac{1}{1-E[X]}=\frac{1}{1-a}$

probability expected-value bounds

— Mike
nguồn

Xem xét những gì xảy ra khi X có giới hạn trên tiếp cận 1 từ bên dưới. Bây giờ hãy xem xét một phân phối với bao gồm 1 với mật độ khác không. Bây giờ hãy xem xét một phân phối rời rạc, trong đó 1 có xác suất khác không. Bạn có thể muốn bắt đầu với một số hạn chế

— Glen_b -Reinstate Monica

Một khái quát của câu hỏi này có thể được áp dụng cho biến ngẫu nhiên

với kỳ vọng

để có được câu trả lời ngay lập tức: xem stats.stackexchange.com/questions/141766 . Sự bất bình đẳng được cung cấp có chặt chẽ: đó là, giới hạn trên là có thể đạt được. Nó cung cấp giới hạn trên hữu ích (không vô hạn) nếu tối cao của

nhỏ hơn

1 - X

$1-X$

1 - a

$1-a$

X

$X$

1

$1$

— whuber

Không có giới hạn trên.

Theo trực giác, nếu có sự hỗ trợ đáng kể dọc theo chuỗi tiếp cận , thì có thể có một kỳ vọng phân kỳ (lớn tùy ý). Để cho thấy không có giới hạn trên, tất cả những gì chúng ta phải làm là tìm ra sự kết hợp giữa hỗ trợ và xác suất đạt được kỳ vọng mong muốn của . Sau đây rõ ràng xây dựng một như vậy . $X$ $1$ $1/(1-X)$ $a$ $X$

Giả sử (sẽ được chọn sau) và (cũng sẽ được chọn sau). Hãy mất trên các giá trị với xác suất $0 \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $X$

a_{n} = 1 - λ n^{- s}

$a_n = 1 - \lambda n^{-s}$

. Sau đó

p_{n} = \frac{n^{- s}}{ζ (s)},

$p_n = \frac{n^{-s}}{\zeta(s)},$

n = 1, 2, \dots

$n = 1, 2, \ldots$

a = E (X) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} a_{n} = \frac{1}{ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} n^{- s} (1 - λ n^{- s}) = 1 - λ \frac{ζ (2 s)}{ζ (s)} .

$a = \mathbb{E}(X) = \sum_{n=1}^\infty p_n a_n = \frac{1}{\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty n^{-s}\left(1 - \lambda n^{-s}\right) = 1 - \lambda \frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)}.$

$f(s) = \zeta(2s)/\zeta(s)$ $(0,1)$

Hình tỷ lệ zeta

$\lambda$ $1-a \lt \lambda \lt 1$ $s \gt 1$ $f(s) = (1-a)/\lambda$ $a = 1 - \lambda f(s)$ $X$

Xem xét

E (\frac{1}{1 - X}) = \sum_{n = 1}^{\infty} p_{n} \frac{n^{s}}{λ} = \frac{1}{λ ζ (s)} \sum_{n = 1}^{\infty} 1.

$\mathbb{E}\left(\frac{1}{1-X}\right) = \sum_{n=1}^\infty p_n \frac{n^s}{\lambda} = \frac{1}{\lambda\zeta(s)}\sum_{n=1}^\infty 1.$

Các tổng phân kỳ. Do đó, không có giới hạn trên phù hợp với các điều kiện đã nêu.

— whuber
nguồn