Giới hạn trên


8

là một biến ngẫu nhiên rời rạc có thể lấy các giá trị từ ( 0 , 1 ) . Kể từ φ ( x ) = 1 / x là một hàm lồi, chúng ta có thể sử dụng Bất đẳng thức Jensen để lấy được mộtthấp hơnbị ràng buộc: E [ 1X(0,1)φ(x)=1/x Có thể lấy đượcgiớihạntrênkhông?

E[11X]11E[X]=11a

1
Xem xét những gì xảy ra khi X có giới hạn trên tiếp cận 1 từ bên dưới. Bây giờ hãy xem xét một phân phối với bao gồm 1 với mật độ khác không. Bây giờ hãy xem xét một phân phối rời rạc, trong đó 1 có xác suất khác không. Bạn có thể muốn bắt đầu với một số hạn chế
Glen_b -Reinstate Monica

1
Một khái quát của câu hỏi này có thể được áp dụng cho biến ngẫu nhiên với kỳ vọng 1 - a để có được câu trả lời ngay lập tức: xem stats.stackexchange.com/questions/141766 . Sự bất bình đẳng được cung cấp có chặt chẽ: đó là, giới hạn trên là có thể đạt được. Nó cung cấp giới hạn trên hữu ích (không vô hạn) nếu tối cao của X nhỏ hơn 1 . 1X1aX1
whuber

Câu trả lời:


5

Không có giới hạn trên.

Theo trực giác, nếu có sự hỗ trợ đáng kể dọc theo chuỗi tiếp cận 1 , thì 1 / ( 1 - X ) có thể có một kỳ vọng phân kỳ (lớn tùy ý). Để cho thấy không có giới hạn trên, tất cả những gì chúng ta phải làm là tìm ra sự kết hợp giữa hỗ trợ và xác suất đạt được kỳ vọng mong muốn của a . Sau đây rõ ràng xây dựng một X như vậy .X11/(1X)aX


Giả sử (sẽ được chọn sau) và s > 1 (cũng sẽ được chọn sau). Hãy X mất trên các giá trị một n = 1 - λ n - s với xác suất p n = n - s0<λ<1s>1X

an=1λns
n=1,2,.... Sau đó
pn=nsζ(s),
n=1,2,

a=E(X)=n=1pnan=1ζ(s)n=1ns(1λns)=1λζ(2s)ζ(s).

f(s)=ζ(2s)/ζ(s)(0,1)

Hình tỷ lệ zeta

λ1a<λ<1s>1f(s)=(1a)/λa=1λf(s)X

Xem xét

E(11X)=n=1pnnsλ=1λζ(s)n=11.

Các tổng phân kỳ. Do đó, không có giới hạn trên phù hợp với các điều kiện đã nêu.

Khi sử dụng trang web của chúng tôi, bạn xác nhận rằng bạn đã đọc và hiểu Chính sách cookieChính sách bảo mật của chúng tôi.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.