Phân tích PCA và Tương ứng trong mối quan hệ của họ với Biplot

Biplot thường được sử dụng để hiển thị kết quả phân tích thành phần chính (và các kỹ thuật liên quan). Nó là một biểu đồ phân tán kép hoặc lớp phủ hiển thị đồng thời tải thành phần và điểm thành phần . Tôi đã được thông báo bởi @amoeba hôm nay rằng anh ấy đã đưa ra một câu trả lời xuất phát từ nhận xét của tôi cho một câu hỏi hỏi về cách thức tọa độ biplot được tạo ra / thu nhỏ; và câu trả lời của ông xem xét một số cách trong một số chi tiết. Và @amoeba hỏi tôi có muốn chia sẻ kinh nghiệm của mình với biplot không.

Kinh nghiệm của tôi (cả về lý thuyết và bằng cách thử nghiệm), mặc dù rất khiêm tốn, nhưng không có gì nổi bật, hai điều không thường được nhận ra: (1) biplot nên được phân loại là kỹ thuật phân tích thay vì phân tán phụ; (2) PCA, phân tích tương ứng (và một số kỹ thuật nổi tiếng khác) thực sự là những trường hợp đặc biệt của biplot. Hoặc, ít nhất, cả hai đều gần như sinh đôi để sinh đôi. Nếu bạn có thể làm biplot, bạn có thể làm hai cái khác.

Câu hỏi của tôi cho bạn là: họ (PCA, CA, Biplot) được kết nối với bạn như thế nào? Xin vui lòng, chia sẻ suy nghĩ của bạn. Nghĩa là tôi đang đăng tài khoản của riêng tôi về nó. Tôi muốn yêu cầu thêm câu trả lời và đưa ra nhận xét quan trọng.

SVD

Phân rã giá trị đơn lẻ là gốc rễ của ba kỹ thuật phân loại. Đặt là bảng của các giá trị thực. SVD là . Chúng tôi có thể sử dụng chỉ các vectơ và gốc tiềm ẩn đầu tiên để lấy là xấp xỉ -rank tốt nhất của : . Hơn nữa, chúng tôi sẽ ghi chú , , .$\bf X$$r \times c$$\bf X = U_{r\times r}S_{r\times c}V_{c\times c}'$$m$ $[m \le\min(r,c)]$$\bf X_{(m)}$$m$$\bf X$$\bf X_{(m)} = U_{r\times m}S_{m\times m}V_{c\times m}'$$\bf U=U_{r\times m}$$\bf V=V_{c\times m}$$\bf S=S_{m\times m}$

Giá trị số đơn và bình phương của chúng, giá trị riêng, biểu thị tỷ lệ , còn được gọi là quán tính của dữ liệu. Các hàm riêng bên trái là tọa độ của các hàng dữ liệu trên các trục chính ; trong khi các hàm riêng bên phải là tọa độ của các cột dữ liệu trên các trục tiềm ẩn tương tự. Toàn bộ thang đo (quán tính) được lưu trữ trong và do đó tọa độ và được chuẩn hóa đơn vị (cột SS = 1).$\bf S$U m V S U V$\bf U$$m$$\bf V$$\bf S$$\bf U$$\bf V$

Phân tích thành phần chính của SVD

Trong PCA, người ta đồng ý coi các hàng của là các quan sát ngẫu nhiên (có thể đến hoặc đi), nhưng coi các cột của là số lượng kích thước hoặc biến cố định. Do đó, rất phù hợp và thuận tiện để loại bỏ ảnh hưởng của số lượng hàng (và chỉ hàng) đối với kết quả, đặc biệt là giá trị bản địa, bằng cách phân tách svd của thay vì . Lưu ý rằng tương ứng này để eigen-phân hủy của , là kích thước mẫu . (Thông thường, chủ yếu là với hiệp phương sai - để làm cho chúng không thiên vị - chúng tôi muốn chia cho , nhưng đó là một sắc thái.)$\bf X$X Z = X / √$\bf X$$\mathbf Z=\mathbf X/\sqrt{r}$$\bf X$$\mathbf {X'X}/r$$r$r-1n$r-1$

Phép nhân của với hằng số chỉ bị ảnh hưởng ; và vẫn là tọa độ chuẩn hóa đơn vị của các hàng và cột.$\bf X$$\bf S$$\bf U$$\bf V$

Từ đây và mọi nơi bên dưới, chúng tôi xác định lại , và như được đưa ra bởi svd của , không phải của ; là phiên bản chuẩn hóa của và mức chuẩn hóa khác nhau giữa các loại phân tích.$\bf S$$\bf U$$\bf V$$\bf Z$$\bf X$$\bf Z$$\bf X$

Bằng cách nhân chúng tôi đưa bình phương trung bình trong các cột của thành 1. Cho rằng các hàng là trường hợp ngẫu nhiên cho chúng tôi, đó là logic. Do đó chúng tôi đã thu được những gì được gọi trong PCA tiêu chuẩn hoặc tiêu chuẩn hóa điểm số thành phần chính của các quan sát, . Chúng tôi không làm điều tương tự với vì các biến là các thực thể cố định.$\mathbf U\sqrt{r}=\bf U_*$UU∗V$\bf U$$\bf U_*$$\bf V$

Sau đó chúng tôi có thể trao hàng với tất cả các quán tính, để có được tọa độ hàng unstandardized, hay còn gọi là trong PCA liệu điểm thành phần chính của các quan sát: . Công thức này chúng tôi sẽ gọi "cách trực tiếp". Kết quả tương tự được trả về bởi ; chúng tôi sẽ gọi nó là "cách gián tiếp".$\bf U_*S$$\bf XV$

Tương tự, chúng ta có thể trao các cột với tất cả quán tính, để có được tọa độ cột không đạt tiêu chuẩn, cũng được gọi trong PCA, tải trọng biến thành phần : [có thể bỏ qua chuyển vị nếu là hình vuông], - "cách trực tiếp". Kết quả tương tự được trả về bởi , - "cách gián tiếp". (Điểm số thành phần chính được tiêu chuẩn hóa ở trên cũng có thể được tính từ các lần tải là , trong đó là các lần tải.)$\bf VS'$$\bf S$$\bf Z'U$X ( Một S - 1 / 2 ) Một$\bf X(AS^{-1/2})$$\bf A$

Biplot

Xem xét biplot theo nghĩa phân tích giảm kích thước theo cách riêng của nó, không chỉ đơn giản là "một phân tán kép". Phân tích này rất giống với PCA. Không giống như PCA, cả hai hàng và cột đều được coi là đối xứng ngẫu nhiên, điều này có nghĩa là đang được xem như một bảng hai chiều ngẫu nhiên có chiều khác nhau. Sau đó, một cách tự nhiên, bình thường hóa nó bằng cả và trước svd: .$\bf X$r c Z = X / √ $r$$c$$\mathbf Z=\mathbf X/\sqrt{rc}$

Sau svd, tính toán tọa độ hàng tiêu chuẩn như chúng ta đã làm trong PCA: . Thực hiện tương tự (không giống PCA) với các vectơ cột, để có được tọa độ cột tiêu chuẩn : . Tọa độ chuẩn, cả hàng và cột, có nghĩa là bình phương 1.$\mathbf U_*=\mathbf U\sqrt{r}$ V *=V √$\mathbf V_*=\mathbf V\sqrt{c}$

Chúng tôi có thể trao các hàng và / hoặc tọa độ cột với quán tính của giá trị riêng như chúng tôi làm trong PCA. Tọa độ hàng không chuẩn: (cách trực tiếp). Tọa độ cột không chuẩn: (cách trực tiếp). Những gì về cách gián tiếp? Bạn có thể dễ dàng suy ra bằng cách thay thế rằng công thức gián tiếp cho tọa độ hàng không chuẩn là và đối với tọa độ cột không chuẩn là .$\bf U_*S$V * S ' X V * / c X ' U * / r$\bf V_*S'$$\mathbf {XV_*}/c$$\mathbf {X'U_*}/r$

PCA là một trường hợp cụ thể của Biplot . Từ các mô tả ở trên, có lẽ bạn đã học được rằng PCA và biplot chỉ khác nhau về cách chúng bình thường hóa thành sau đó được phân tách. Biplot bình thường hóa bằng cả số lượng hàng và số lượng cột; PCA chỉ bình thường hóa theo số lượng hàng. Do đó, có một chút khác biệt giữa hai trong các tính toán sau svd. Nếu khi thực hiện biplot, bạn đặt trong các công thức của nó, bạn sẽ nhận được kết quả PCA chính xác. Do đó, biplot có thể được xem như là một phương pháp chung và PCA là một trường hợp cụ thể của biplot.$\bf X$$\bf Z$$c=1$

[Định tâm cột . Một số người dùng có thể nói: Dừng, nhưng PCA cũng không yêu cầu và trước hết là việc định tâm các cột dữ liệu (biến) để giải thích phương sai ? Trong khi biplot có thể không làm trung tâm? Câu trả lời của tôi: chỉ có PCA theo nghĩa hẹp mới làm trung tâm và giải thích phương sai; Tôi đang thảo luận về PCA theo nghĩa chung, PCA giải thích một số tổng sai lệch bình phương so với gốc được chọn; bạn có thể chọn nó là trung bình dữ liệu, gốc 0 hoặc bất cứ thứ gì bạn thích. Do đó, hoạt động "định tâm" không phải là điều có thể phân biệt PCA với biplot.]

Hàng và cột thụ động

Trong biplot hoặc PCA, bạn có thể đặt một số hàng và / hoặc cột thành thụ động hoặc bổ sung. Hàng hoặc cột thụ động không ảnh hưởng đến SVD và do đó không ảnh hưởng đến quán tính hoặc tọa độ của các hàng / cột khác, nhưng nhận tọa độ của nó trong không gian của các trục chính được tạo bởi các hàng / cột chủ động (không thụ động).

Để đặt một số điểm (hàng / cột) thành thụ động, (1) xác định và là số lượng hàng và cột hoạt động . (2) Đặt thành các hàng và cột thụ động bằng 0 trong trước svd. (3) Sử dụng các cách "gián tiếp" để tính tọa độ của các hàng / cột thụ động, vì các giá trị eigenvector của chúng sẽ bằng không.$r$$c$Z$\bf Z$

Trong PCA, khi bạn tính điểm thành phần cho các trường hợp mới đến với sự trợ giúp của tải trọng thu được từ các quan sát cũ ( sử dụng ma trận hệ số điểm ), bạn thực sự làm điều tương tự như lấy các trường hợp mới này trong PCA và giữ chúng thụ động. Tương tự, để tính toán tương quan / hiệp phương sai của một số biến ngoài với điểm thành phần do PCA tạo ra tương đương với lấy các biến đó trong PCA đó và giữ chúng thụ động.

Quán tính lan rộng tùy ý

Bình phương trung bình cột (MS) của tọa độ chuẩn là 1. Bình phương trung bình cột (MS) của tọa độ không đạt tiêu chuẩn bằng với quán tính của các trục chính tương ứng: tất cả quán tính của giá trị riêng được tặng cho các hàm riêng để tạo ra tọa độ không chuẩn.

Trong biplot : tọa độ chuẩn hàng có MS = 1 cho mỗi trục chính. Chèo tọa unstandardized, hay còn gọi là hàng chính tọa có MS = tương ứng eigenvalue của . Điều này cũng đúng với các tọa độ tiêu chuẩn cột và không chuẩn (chính).$\bf U_*$U ∗ S = X V ∗ / c Z$\mathbf {U_*S} = \mathbf {XV_*}/c$$\bf Z$

Nói chung, không bắt buộc phải có một tọa độ có quán tính hoặc toàn bộ hoặc không có. Lây lan tùy tiện được cho phép, nếu cần thiết cho một số lý do. Đặt là tỷ lệ quán tính đi theo hàng. Thì công thức chung của tọa độ hàng là: (cách trực tiếp) = (cách gián tiếp). Nếu chúng ta có tọa độ hàng tiêu chuẩn, trong khi với chúng ta có tọa độ hàng chính.$p_1$U ∗ S p 1 X V ∗ S p 1 - 1 / c p 1 = 0 p 1 = 1$\bf U_*S^{p1}$$\mathbf {XV_*S^{p1-1}}/c$$p_1=0$$p_1=1$

Tương tự như vậy, là tỷ lệ quán tính đi vào cột. Khi đó công thức chung của tọa độ cột là: (cách trực tiếp) = (cách gián tiếp). Nếu chúng ta có tọa độ cột tiêu chuẩn, trong khi với chúng ta có tọa độ cột chính.$p_2$V ∗ S p 2 X ′ U ∗ S p 2 - 1 / r p 2 = 0 p 2 = 1$\bf V_*S^{p2}$$\mathbf {X'U_*S^{p2-1}}/r$$p_2=0$$p_2=1$

Các công thức gián tiếp chung là phổ biến ở chỗ chúng cho phép tính tọa độ (tiêu chuẩn, hiệu trưởng hoặc ở giữa) cũng cho các điểm thụ động, nếu có.

Nếu họ nói quán tính được phân phối giữa các điểm hàng và cột. Các phần tử , tức là hàng-cột-cột-tiêu chuẩn, các bộ ba đôi khi được gọi là các bộ ba "mẫu biplots" hoặc "bảo toàn số liệu hàng". Các phần tử , tức là hàng-cột-cột-hiệu trưởng, các bộ ba thường được gọi trong các bộ ba tài liệu "hiệp phương sai" hoặc "bảo tồn số liệu cột"; chúng hiển thị các tải trọng thay đổi ( được nối liền với hiệp phương sai) cộng với điểm thành phần được tiêu chuẩn hóa, khi được áp dụng trong PCA.$p_1+p_2=1$$p_1=1,p_2=0$$p_1=0,p_2=1$

Trong phân tích tương ứng , thường được sử dụng và được gọi là chuẩn hóa "đối xứng" hoặc "chính tắc" theo quán tính - nó cho phép (mặc dù ở mức độ nghiêm ngặt của hình học euclide) so sánh khoảng cách giữa các điểm hàng và cột, như chúng ta có thể làm trên bản đồ mở rộng đa chiều.$p_1=p_2=1/2$

Phân tích tương ứng (mô hình Euclide)

Phân tích tương ứng hai chiều (= đơn giản) (CA) là biplot được sử dụng để phân tích bảng dự phòng hai chiều, nghĩa là một bảng không âm có ý nghĩa của một loại ái lực nào đó giữa một hàng và một cột. Khi bảng là tần số phân tích tương ứng mô hình chi-vuông được sử dụng. Khi các mục là, có nghĩa là, hoặc các điểm khác, một mô hình Euclide đơn giản hơn được sử dụng.

Euclide mô hình CA là chỉ biplot mô tả ở trên, chỉ có bảng được xử lý trước bổ sung trước khi nó đi vào hoạt động biplot. Đặc biệt, các giá trị được chuẩn hóa không chỉ bởi và mà còn bởi tổng số tiền .$\bf X$$r$$c$$N$

Quá trình tiền xử lý bao gồm định tâm, sau đó chuẩn hóa theo khối lượng trung bình. Định tâm có thể khác nhau, thường xuyên nhất: (1) định tâm các cột; (2) định tâm các hàng; (3) định tâm hai chiều, hoạt động tương tự như tính toán của phần dư tần số; (4) định tâm các cột sau khi cân bằng tổng cột; (5) định tâm các hàng sau khi cân bằng tổng hàng. Chuẩn hóa theo khối lượng trung bình được chia cho giá trị ô trung bình của bảng ban đầu. Ở bước tiền xử lý, các hàng / cột thụ động, nếu tồn tại, được tiêu chuẩn hóa một cách thụ động: chúng được căn giữa / chuẩn hóa bởi các giá trị được tính toán từ các hàng / cột hoạt động.

Sau đó, biplot thông thường được thực hiện trên xử lý trước , bắt đầu từ .$\bf X$$\mathbf Z=\mathbf X/\sqrt{rc}$

Biplot có trọng số

Hãy tưởng tượng rằng hoạt động hoặc tầm quan trọng của một hàng hoặc một cột có thể là bất kỳ số nào trong khoảng từ 0 đến 1, và không chỉ 0 (thụ động) hoặc 1 (hoạt động) như trong biplot cổ điển được thảo luận cho đến nay. Chúng tôi có thể cân dữ liệu đầu vào theo các trọng số hàng và cột này và thực hiện biplot có trọng số. Với biplot có trọng số, trọng số càng lớn thì hàng đó càng có ảnh hưởng hoặc cột đó liên quan đến tất cả các kết quả - quán tính và tọa độ của tất cả các điểm trên các trục chính.

Người dùng cung cấp trọng lượng hàng và trọng lượng cột. Những cái này và những cái đầu tiên được chuẩn hóa riêng biệt thành tổng 1. Sau đó, bước chuẩn hóa là , với và là trọng số cho hàng i và cột j . Chính xác trọng lượng bằng không chỉ định hàng hoặc cột là thụ động.$\mathbf{Z_{ij} = X_{ij}}\sqrt{w_i w_j}$$w_i$$w_j$

Tại thời điểm đó, chúng ta có thể phát hiện ra rằng biplot cổ điển chỉ đơn giản là biplot có trọng số này với trọng số cho tất cả các hàng hoạt động và trọng số bằng nhau cho tất cả các cột hoạt động; và số lượng hàng hoạt động và cột hoạt động.$1/r$$1/c$$r$$c$

Thực hiện svd của . Tất cả các hoạt động đều giống như trong biplot cổ điển, sự khác biệt duy nhất là thay cho và thay cho . Các tọa độ hàng tiêu chuẩn: và tọa độ cột tiêu chuẩn: . (Chúng dành cho các hàng / cột có trọng số khác 0$\bf Z$$w_i$$1/r$$w_j$$1/c$$\mathbf {U_{*i}=U_i}/\sqrt{w_i}$$\mathbf {V_{*j}=V_j}/\sqrt{w_j}$

Đặt quán tính cho tọa độ theo tỷ lệ bạn muốn (với và , tọa độ sẽ hoàn toàn không được chuẩn hóa hoặc là hiệu trưởng; với và chúng sẽ giữ chuẩn). Hàng: (cách trực tiếp) = (cách gián tiếp). Cột: (cách trực tiếp) = (cách gián tiếp). Ma trận trong ngoặc ở đây là ma trận đường chéo của cột và trọng số hàng tương ứng. Đối với các điểm thụ động (nghĩa là có trọng số bằng 0) chỉ có cách tính toán gián tiếp là phù hợp. Đối với các điểm hoạt động (trọng số tích cực), bạn có thể đi một trong hai cách.$p_1=1$$p_2=1$$p_1=0$$p_2=0$$\bf U_*S^{p1}$$\bf X[Wj]V_*S^{p1-1}$$\bf V_*S^{p2}$$\bf ([Wi]X)'U_*S^{p2-1}$

PCA như một trường hợp cụ thể của Biplot được xem xét lại . Khi xem xét biplot không trọng số trước đó tôi đã đề cập rằng PCA và biplot là tương đương nhau, sự khác biệt duy nhất là biplot xem các cột (biến) của dữ liệu là trường hợp ngẫu nhiên đối xứng với các quan sát (hàng). Bây giờ đã mở rộng biplot thành biplot có trọng số tổng quát hơn, chúng ta có thể một lần nữa khẳng định nó, quan sát rằng sự khác biệt duy nhất là biplot (có trọng số) bình thường hóa tổng trọng số của dữ liệu đầu vào thành 1 và (PC) có trọng số - với số lượng ( hoạt động) cột. Vì vậy, đây là PCA trọng số được giới thiệu. Kết quả của nó là tương tự như tỷ lệ của biplot có trọng số. Cụ thể, nếu$c$ là số cột hoạt động, sau đó các mối quan hệ sau là đúng, đối với các phiên bản có trọng số cũng như cổ điển của hai phân tích:

• giá trị riêng của PCA = giá trị riêng của biplot ;$\cdot c$
• tải trọng = tọa độ cột theo "chuẩn hóa chính" của các cột;
• điểm thành phần được tiêu chuẩn hóa = tọa độ hàng trong "chuẩn hóa" của hàng;
• các hàm riêng của PCA = tọa độ cột trong "chuẩn hóa" của cột ;$/ \sqrt c$
• điểm thành phần thô = tọa độ hàng trong "chuẩn hóa chính" của hàng .$\cdot \sqrt c$

Phân tích tương ứng (mô hình Chi-vuông)

Về mặt kỹ thuật, đây là một biplot có trọng số trong đó các trọng số đang được tính toán từ chính bảng thay vì được cung cấp bởi người dùng. Nó được sử dụng chủ yếu để phân tích các bảng chéo tần số. Biplot này sẽ gần đúng, theo khoảng cách euclide trên ô, khoảng cách chi bình phương trong bảng. Khoảng cách chi bình phương về mặt toán học là khoảng cách euclide có trọng số nghịch với tổng số biên. Tôi sẽ không đi sâu hơn vào chi tiết về hình học CA mô hình vuông.

Quá trình tiền xử lý của bảng tần số như sau: chia mỗi tần số cho tần số dự kiến, sau đó trừ đi 1. Nó giống như trước tiên là lấy tần số dư và sau đó chia cho tần số dự kiến. Đặt trọng số hàng thành và trọng số cột thành , trong đó là tổng biên của hàng i (chỉ các cột hoạt động), là tổng biên của cột j (chỉ các hàng hoạt động), là tổng số tổng hoạt động của bảng (ba số đến từ bảng ban đầu).$\bf X$$w_i=R_i/N$$w_j=C_j/N$$R_i$$C_j$$N$

Sau đó làm biplot trọng: (1) Normalize vào . (2) Các trọng số không bao giờ bằng 0 (không và không được phép trong CA); tuy nhiên, bạn có thể buộc các hàng / cột trở nên thụ động bằng cách xóa chúng trong , do đó, trọng số của chúng không hiệu quả ở svd. (3) Làm svd. (4) Tính toán tọa độ chuẩn và quán tính như trong biplot có trọng số.$\bf X$$\bf Z$$R_i$$C_j$$\bf Z$

Trong CA mô hình vuông cũng như CA mô hình Euclide sử dụng định tâm hai chiều, một giá trị riêng cuối cùng luôn là 0, do đó, số lượng kích thước chính tối đa có thể là .$\min(r-1,c-1)$

Xem thêm một cái nhìn tổng quan về CA mô hình vuông trong câu trả lời này .

Minh họa

Đây là một số bảng dữ liệu.

 row     A     B     C     D     E     F
   1     6     8     6     2     9     9
   2     0     3     8     5     1     3
   3     2     3     9     2     4     7
   4     2     4     2     2     7     7
   5     6     9     9     3     9     6
   6     6     4     7     5     5     8
   7     7     9     6     6     4     8
   8     4     4     8     5     3     7
   9     4     6     7     3     3     7
  10     1     5     4     5     3     6
  11     1     5     6     4     8     3
  12     0     6     7     5     3     1
  13     6     9     6     3     5     4
  14     1     6     4     7     8     4
  15     1     1     5     2     4     3
  16     8     9     7     5     5     9
  17     2     7     1     3     4     4
  28     5     3     3     9     6     4
  19     6     7     6     2     9     6
  20    10     7     4     4     8     7

Một số phân tán kép (trong 2 kích thước chính đầu tiên) được xây dựng dựa trên các phân tích về các giá trị này theo sau. Các điểm cột được kết nối với điểm gốc bằng các gai để nhấn mạnh thị giác. Không có hàng hoặc cột thụ động trong các phân tích này.

Biplot đầu tiên là kết quả SVD của bảng dữ liệu được phân tích "nguyên trạng"; các tọa độ là hàng và các hàm riêng của cột.

Dưới đây là một trong những môn học có thể đến từ PCA . PCA đã được thực hiện trên dữ liệu "nguyên trạng", mà không cần định tâm các cột; tuy nhiên, vì nó được thông qua trong PCA, việc chuẩn hóa theo số lượng hàng (số lượng trường hợp) đã được thực hiện ban đầu. Biplot cụ thể này hiển thị tọa độ hàng chính (tức là điểm thành phần thô) và tọa độ cột chính (tức là tải trọng biến).

Tiếp theo là biplot sensu stricto : Bảng ban đầu được bình thường cả bởi số hàng và số cột. Chuẩn hóa chính (trải quán tính) được sử dụng cho cả tọa độ hàng và cột - như với PCA ở trên. Lưu ý sự tương đồng với biplot PCA: sự khác biệt duy nhất là do sự khác biệt trong chuẩn hóa ban đầu.

Mô hình phân tích tương ứng Chi-vuông biplot. Bảng dữ liệu được xử lý trước theo cách đặc biệt, nó bao gồm định tâm hai chiều và chuẩn hóa bằng các tổng biên. Nó là một biplot có trọng số. Quán tính được trải đều trên hàng và tọa độ cột đối xứng - cả hai đều nằm giữa các tọa độ "chính" và "tiêu chuẩn".

Các tọa độ được hiển thị trên tất cả các biểu đồ phân tán này:

point      dim1_1   dim2_1   dim1_2   dim2_2   dim1_3   dim2_3   dim1_4   dim2_4
1            .290     .247   16.871    3.048    6.887    1.244    -.479    -.101
2            .141    -.509    8.222   -6.284    3.356   -2.565    1.460    -.413
3            .198    -.282   11.504   -3.486    4.696   -1.423     .414    -.820
4            .175     .178   10.156    2.202    4.146     .899    -.421     .339
5            .303     .045   17.610     .550    7.189     .224    -.171    -.090
6            .245    -.054   14.226    -.665    5.808    -.272    -.061    -.319
7            .280     .051   16.306     .631    6.657     .258    -.180    -.112
8            .218    -.248   12.688   -3.065    5.180   -1.251     .322    -.480
9            .216    -.105   12.557   -1.300    5.126    -.531     .036    -.533
10           .171    -.157    9.921   -1.934    4.050    -.789     .433     .187
11           .194    -.137   11.282   -1.689    4.606    -.690     .384     .535
12           .157    -.384    9.117   -4.746    3.722   -1.938    1.121     .304
13           .235     .099   13.676    1.219    5.583     .498    -.295    -.072
14           .210    -.105   12.228   -1.295    4.992    -.529     .399     .962
15           .115    -.163    6.677   -2.013    2.726    -.822     .517    -.227
16           .304     .103   17.656    1.269    7.208     .518    -.289    -.257
17           .151     .147    8.771    1.814    3.581     .741    -.316     .670
18           .198    -.026   11.509    -.324    4.699    -.132     .137     .776
19           .259     .213   15.058    2.631    6.147    1.074    -.459     .005
20           .278     .414   16.159    5.112    6.597    2.087    -.753     .040
A            .337     .534    4.387    1.475    4.387    1.475    -.865    -.289
B            .461     .156    5.998     .430    5.998     .430    -.127     .186
C            .441    -.666    5.741   -1.840    5.741   -1.840     .635    -.563
D            .306    -.394    3.976   -1.087    3.976   -1.087     .656     .571
E            .427     .289    5.556     .797    5.556     .797    -.230     .518
F            .451     .087    5.860     .240    5.860     .240    -.176    -.325