Một câu hỏi liên quan đến Borel-Cantelli Lemma

Ghi chú:

Borel-Cantelli Lemma nói rằng

$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) < \infty \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 0$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) \lt \infty \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=0$
$\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}) = \infty and A_{n}'s are independent \Rightarrow P (lim sup A_{n}) = 1$ $\sum_{n=1}^\infty P(A_n) =\infty \textrm{ and } A_n\textrm{'s are independent} \Rightarrow P(\lim\sup A_n)=1$

Sau đó,

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n} A_{n + 1}^{c}) < \infty

$\sum_{n=1}^\infty P(A_nA_{n+1}^c )\lt \infty$

bằng cách sử dụng Borel-Cantelli Lemma

Tôi muốn thể hiện điều đó

trước hết

$\lim_{n\to \infty}P(A_n)$ tồn tại

và thứ hai,

$\lim_{n\to \infty}P(A_n) =P(\lim\sup A_n)$

Xin hãy giúp tôi hiển thị hai phần này. Cảm ơn bạn.

— B11b
nguồn

Không, bổ đề Borel-Cantelli không nói (tất cả) rằng, ít nhất, không phải không có những giả định tiếp theo.

— Đức Hồng Y

@cardinal tốt, làm thế nào tôi có thể hiển thị hai tuyên bố này? xin vui lòng giải thích cho tôi? tôi không có ý tưởng nào đủ Tôi sẽ rất vui nếu bạn thể hiện một cách solutin :) cảm ơn bạn

— B11b

Đã thêm một "giả định nữa".

— Zen

Lưu ý nhỏ: như đã đề cập ở đây , chẳng hạn, chúng ta có thể nhận được bằng cách độc lập theo cặp của trong phần thứ hai của bổ đề

A_{n}

$A_n$

— jld

Không có khẳng định nào là đúng.

Đặt là cơ hội của những người đứng đầu trong một lần lật đồng xu, với xác suất khi là số lẻ và khi chẵn. Sau đó: $A_n$ $1/n^2$ $n$ $1-\frac{1}{n^2}$ $n$

\sum_{n = 1}^{\infty} P (A_{n}, A_{n + 1}^{c}) = \sum_{o d d n}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) + \sum_{e v e n n} \frac{1}{n^{2}} (1 - \frac{1}{(n + 1)^{2}}) < \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}} < \infty .

$\sum_{n=1}^\infty P(A_n,A_{n+1}^c)=\sum_{odd \ n}^\infty \frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)+\sum_{even \ n}\frac{1}{n^2}\left(1-\frac{1}{(n+1)^2}\right)<\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^2}<\infty.$

Tuy nhiên, rõ ràng không tồn tại. Điều tốt nhất bạn có thể kết luận là . $\lim_nP(A_n)$ $\lim_n P(A_n,A_{n+1}^c)\rightarrow 0$

— Alex R.
nguồn