ngưỡng tính toán cho phân loại rủi ro tối thiểu?

Giả sử Hai lớp $C_1$ và $C_2$ có thuộc tính $x$ và có phân phối $\cal{N} (0, 0.5)$ và $\cal{N} (1, 0.5)$ . nếu chúng ta có trước bằng $P(C_1)=P(C_2)=0.5$ cho sau ma trận chi phí:

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

tại sao, là ngưỡng phân loại rủi ro (chi phí) tối thiểu? $x_0 < 0.5$

Đây là ví dụ lưu ý của tôi mà tôi hiểu nhầm, (nghĩa là làm thế nào đạt đến ngưỡng này?)

Chỉnh sửa 1: Tôi nghĩ đối với ngưỡng tỷ lệ khả năng chúng ta có thể sử dụng P (C1) / P (C2).

Chỉnh sửa 2: Tôi thêm từ Duda Book trên Mẫu một số văn bản về ngưỡng. nhập mô tả hình ảnh ở đây

— người dùng153695
nguồn

Đối với ma trận chi phí

L = [\begin{matrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \begin{matrix} c_{1} \\ c_{2} \end{matrix} prediction \begin{matrix} c_{1} & c_{2} \end{matrix} truth

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \;\text{prediction} \\ \hspace{-1.9cm} \begin{matrix} c_1 & c_2 \end{matrix} \\ \hspace{-1.9cm}\text{truth}$

mất dự đoán lớp khi sự thật là lớp là và chi phí dự đoán lớp khi sự thật là lớp là . Không có chi phí cho dự đoán chính xác, . Rủi ro có điều kiện để dự đoán một trong hai lớp là $c_1$ $c_2$ $L_{12} = 0.5$ $c_2$ $c_1$ $L_{21} = 1$ $L_{11} = L_{22} = 0$ $R$ $k$

Để tham khảo xem cácghi chútrên trang 15.

\begin{aligned} R (c_{1} | x) & = L_{11} Pr (c_{1} | x) + L_{12} Pr (c_{2} | x) = L_{12} Pr (c_{2} | x) \\ R (c_{2} | x) & = L_{22} Pr (c_{2} | x) + L_{21} Pr (c_{1} | x) = L_{21} Pr (c_{1} | x) \end{aligned}

$\begin{align} R(c_1|x) &= L_{11} \Pr (c_1|x) + L_{12} \Pr (c_2|x) = L_{12} \Pr (c_2|x) \\ R(c_2|x) &= L_{22} \Pr (c_2|x) + L_{21} \Pr (c_1|x) = L_{21} \Pr (c_1|x) \end{align}$

Để giảm thiểu rủi ro / mất mát, bạn dự đoán nếu chi phí từ sai lầm đó xảy ra (đó là mất dự đoán sai lần xác suất hậu nghiệm rằng dự đoán sai ) nhỏ hơn hơn chi phí dự đoán sai $c_1$ $L_{12} \Pr (c_2|x)$

nơi dòng thứ hai sử dụng quy tắc Bayes. Cho xác suất trước bằng nhaubạn nhận được

\begin{aligned} L_{12} Pr (c_{2} | x) & < L_{21} Pr (c_{1} | x) \\ L_{12} Pr (x | c_{2}) Pr (c_{2}) & < L_{21} Pr (x | c_{1}) Pr (c_{1}) \\ \frac{L_{12} Pr (c_{2})}{L_{21} Pr (c_{1})} & < \frac{Pr (x | c_{1})}{Pr (x | c_{2})} \end{aligned}

$\begin{align} L_{12} \Pr (c_2|x) &< L_{21} \Pr (c_1|x) \\ L_{12} \Pr (x|c_2) \Pr (c_2) &< L_{21} \Pr (x|c_1) \Pr (c_1) \\ \frac{L_{12} \Pr (c_2)}{L_{21} \Pr (c_1)} &< \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)} \end{align}$

Pr (c_{2} | x) \propto Pr (x | c_{2}) Pr (c_{2})

$\Pr (c_2|x) \propto \Pr (x|c_2) \Pr (c_2)$

Pr (c_{1}) = Pr (c_{2}) = 0.5

$\Pr (c_1) = \Pr (c_2) = 0.5$

\frac{1}{2} < \frac{Pr (x | c_{1})}{Pr (x | c_{2})}

$\frac{1}{2} < \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)}$

vì vậy bạn chọn phân loại quan sát vì là tỷ lệ khả năng vượt quá ngưỡng này. Bây giờ tôi không rõ liệu bạn có muốn biết "ngưỡng tốt nhất" về tỷ lệ khả năng hay về mặt thuộc tính . Câu trả lời thay đổi theo hàm chi phí. Sử dụng Gaussian trong sự bất bình đẳng với và , , $c_1$ $x$ $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ $\mu_1 = 0$ $\mu_2 = 1$ vì vậychỉ có thể đạt đượcngưỡng dự đoán theokhi bạn tìm kiếm nếu tổn thất từ dự đoán sai là như nhau, tức làvì chỉ khi đó bạn mới có thể

\begin{aligned} \frac{1}{2} & < \frac{\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp [- \frac{1}{2 σ^{2}} (x - μ_{1})^{2}]}{\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} \exp [- \frac{1}{2 σ^{2}} (x - μ_{2})^{2}]} \\ \log (\frac{1}{2}) & < \log (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}) - \frac{1}{2 σ^{2}} (x - 0)^{2} - [\log (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}) - \frac{1}{2 σ^{2}} (x - 1)^{2}] \\ \log (\frac{1}{2}) & < - \frac{x^{2}}{2 σ^{2}} + \frac{x^{2}}{2 σ^{2}} - \frac{2 x}{2 σ^{2}} + \frac{1}{2 σ^{2}} \\ \frac{x}{σ^{2}} & < \frac{1}{2 σ^{2}} - \log (\frac{1}{2}) \\ x & < \frac{1}{2} - \log (\frac{1}{2}) σ^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{2} &< \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2 \right]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_2)^2 \right]} \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-0)^2 - \left[ \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-1)^2 \right] \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< -\frac{x^2}{2\sigma^2} + \frac{x^2}{2\sigma^2} - \frac{2x}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^2} \\ \frac{x}{\sigma^2} &< \frac{1}{2\sigma^2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \\ x &< \frac{1}{2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \sigma^2 \end{align}$

x

$x$

L_{12} = L_{21}

$L_{12} = L_{21}$

và bạn nhận được

\log (\frac{L_{12}}{L_{21}}) = \log (1) = 0

$\log \left( \frac{L_{12}}{L_{21}} \right) = \log (1) = 0$

x_{0} < \frac{1}{2}

$x_0 < \frac{1}{2}$

— Andy
nguồn

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

i

$i$

x_{0} \leq 0.5

$x_0 \leq 0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0 < 0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

có thể 0,5-ln :)

— dùng153695

@whuber cảm ơn, tôi hoàn toàn bỏ lỡ điều đó vì vậy tôi bắt đầu từ một kết thúc hoàn toàn sai.

— Andy