Làm thế nào để tính toán các dải dự đoán cho hồi quy phi tuyến tính?

Các trang trợ giúp cho Prism cung cấp cho các giải thích sau đây để biết nó như thế nào tính toán các ban nhạc dự đoán cho hồi quy phi tuyến tính. Xin thứ lỗi, nhưng tôi không theo đoạn thứ hai (điều đó giải thích cách được định nghĩa và được tính toán). Mọi sự trợ giúp sẽ rất được trân trọng.d Y / d $G|x$$dY/dP$

Việc tính toán các dải tin cậy và dự đoán là khá chuẩn. Đọc để biết chi tiết về cách Prism tính toán dự đoán và các dải tin cậy của hồi quy phi tuyến.

Trước tiên, hãy xác định G | x, là độ dốc của các tham số tại một giá trị cụ thể của X và sử dụng tất cả các giá trị phù hợp nhất của các tham số. Kết quả là một vectơ, với một phần tử cho mỗi tham số. Đối với mỗi tham số, nó được định nghĩa là dY / dP, trong đó Y là giá trị Y của đường cong cho giá trị cụ thể của X và tất cả các giá trị tham số phù hợp nhất và P là một trong các tham số.)

G '| x là vectơ gradient được hoán vị, vì vậy nó là một cột chứ không phải là một hàng các giá trị.

Cov là ma trận hiệp phương sai (đảo ngược Hessian từ lần lặp cuối cùng). Nó là một ma trận vuông với số lượng hàng và cột bằng số lượng tham số. Mỗi mục trong ma trận là hiệp phương sai giữa hai tham số.

Bây giờ hãy tính c = G '| x * Cov * G | x. Kết quả là một số duy nhất cho bất kỳ giá trị nào của X.

Các dải tin cậy và dự đoán được tập trung vào đường cong phù hợp nhất và mở rộng trên và dưới đường cong một lượng bằng nhau.

Các dải tin cậy mở rộng trên và dưới đường cong bởi: = sqrt (c) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (Confidence%, DF)

Các dải dự đoán mở rộng khoảng cách xa hơn trên và dưới đường cong, bằng: = sqrt (c + 1) * sqrt (SS / DF) * CriticalT (Confidence%, DF)

Đây được gọi là Phương pháp Delta.

Giả sử rằng bạn có một số chức năng ; lưu ý rằng G ( ⋅ ) là một hàm của các tham số mà bạn ước tính, β và các giá trị của các yếu tố dự đoán của bạn, x . Trước tiên, tìm đạo hàm của chức năng này đối với vector của bạn các thông số, với β : G ' ( β , x $y = G(\beta,x) + \epsilon$$G(\cdot)$$\beta$$x$$\beta$$G^\prime(\beta, x)$. Điều này nói rằng, nếu bạn thay đổi một tham số một chút, chức năng của bạn thay đổi bao nhiêu? Lưu ý rằng đạo hàm này có thể là một hàm của chính các tham số của bạn cũng như các yếu tố dự đoán. Ví dụ, nếu , sau đó đạo hàm là x exp ( β x ) , mà phụ thuộc vào giá trị của β và giá trị của x . Để đánh giá này, bạn cắm trong dự toán của β rằng thủ tục của bạn mang đến, β , và giá trị của các yếu tố dự báo $G(\beta,x) = \exp (\beta x)$$x \exp (\beta x)$$\beta$$x$$\beta$$\hat{\beta}$$x$ nơi bạn muốn dự đoán.

Đồng bằng sông Cửu Phương pháp, xuất phát từ thủ tục maximum likelihood, tiểu bang rằng phương sai của sẽ là G ' ( β , x ) T Var ( β ) G ' ( β , x ) , nơi var ( β$G\left(\hat{\beta}, x\right)$

$$G^\prime\left(\hat{\beta},x\right)^T \text{Var}\left(\hat{\beta}\right) G^\prime\left(\hat{\beta},x\right),$$ $\text{Var}\left(\hat{\beta}\right)$là ma trận phương sai hiệp phương sai của các ước tính của bạn (giá trị này bằng với nghịch đảo của Hessian --- các đạo hàm thứ hai của hàm khả năng theo ước tính của bạn). Hàm mà các gói thống kê của bạn sử dụng sẽ tính toán giá trị này cho từng giá trị khác nhau của bộ dự đoán . Đây chỉ là một số, không phải là một vectơ, cho mỗi giá trị của x .$x$$x$

Điều này đưa ra phương sai của giá trị của hàm tại mỗi điểm và điều này được sử dụng giống như bất kỳ phương sai nào khác trong việc tính khoảng tin cậy: lấy căn bậc hai của giá trị này, nhân với giá trị tới hạn cho phân phối t thông thường hoặc áp dụng có liên quan cho a mức độ tin cậy cụ thể, và cộng và trừ giá trị này vào ước tính của tại điểm.$G(\cdot)$

Đối với những khoảng thời gian dự đoán, chúng ta cần phải thực hiện sự thay đổi của kết quả đưa ra dự đoán , Var ( y | x ) ≡ σ 2 , vào tài khoản. Do đó, chúng ta phải đẩy mạnh sai của chúng tôi từ phương pháp Delta theo ước tính của chúng ta về phương sai của ε , σ 2 , để có được sự thay đổi của y , chứ không phải là sự thay đổi của giá trị kỳ vọng của y được sử dụng cho khoảng tin cậy. Lưu ý rằng σ 2 là tổng của bình phương lỗi ( trong tập tin ký hiệu giúp đỡ) chia cho bậc tự do ( ).$x$$\text{Var}(y \mid x) \equiv \sigma^2$$\epsilon$$\hat{\sigma}^2$$y$$y$$\hat{\sigma}^2$SSDF

c$\sigma^2$$\sigma^{-2}$$\sigma$c*SS/DF

c$\left(x^\prime x\right)^{-1}$$\text{Var}\left(\hat{\beta}\right) = \sigma^2 \left(x^\prime x\right)^{-1}$