Mô phỏng từ Ước tính mật độ hạt nhân (PDF theo kinh nghiệm)

Tôi có một vector Xcủa N=900các quan sát được mô hình tốt nhất bởi một ước lượng băng thông toàn cầu mật độ hạt nhân (mô hình tham số, trong đó có mô hình hỗn hợp năng động, hóa ra không phải là phù hợp tốt):

Bây giờ, tôi muốn mô phỏng từ KDE này. Tôi biết điều này có thể đạt được bằng cách bootstrapping.

Trong R, tất cả đều thuộc về dòng mã đơn giản này (gần như là mã giả): x.sim = mean(X) + { sample(X, replace = TRUE) - mean(X) + bw * rnorm(N) } / sqrt{ 1 + bw^2 * varkern/var(X) }trong đó bootstrap được làm mịn với hiệu chỉnh phương sai được thực hiện và varkernlà phương sai của hàm Kernel được chọn (ví dụ: 1 cho Hạt nhân Gaussian ).

Những gì chúng tôi nhận được với 500 lần lặp lại là như sau:

Nó hoạt động, nhưng tôi có một thời gian khó hiểu làm thế nào các quan sát xáo trộn (với một số tiếng ồn được thêm vào) giống như mô phỏng từ phân phối xác suất? (bản phân phối ở đây là KDE), giống như với Monte Carlo tiêu chuẩn. Ngoài ra, bootstrapping có phải là cách duy nhất để mô phỏng từ KDE không?

EDIT: vui lòng xem câu trả lời của tôi dưới đây để biết thêm thông tin về bootstrap được làm mịn với hiệu chỉnh phương sai.

Đây là một thuật toán để lấy mẫu từ hỗn hợp tùy ý :$f(x) = \frac1N \sum_{i=1}^N f_i(x)$

• Chọn một thành phần hỗn hợp đồng đều ngẫu nhiên.$i$
• Mẫu từ .$f_i$

Cần phải rõ ràng rằng điều này tạo ra một mẫu chính xác.

Ước tính mật độ hạt nhân Gaussian là hỗn hợp . Vì vậy, bạn có thể lấy một mẫu có kích thước bằng cách chọn một bó s và thêm nhiễu bình thường với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai cho nó.$\frac1N \sum_{i=1}^N \mathcal{N}(x; x_i, h^2)$$N$$x_i$$h^2$

Đoạn mã của bạn đang chọn một bó s, nhưng sau đó nó đang làm một cái gì đó hơi khác:$x_i$

• thay đổi thành $x_i$$\hat\mu + \frac{x_i - \hat\mu}{\sqrt{1 + h^2 / \hat\sigma^2}}$
• thêm tiếng ồn bình thường không có nghĩa với phương sai , trung bình hài của và .$\frac{h^2}{1 + h^2/\hat\sigma^2} = \frac{1}{\frac{1}{h^2} + \frac{1}{\hat\sigma^2}}$$h^2$$\sigma^2$

Chúng ta có thể thấy rằng giá trị mong đợi của một mẫu theo quy trình này là kể từ .

Tôi không nghĩ rằng sự phân phối mẫu là như nhau, mặc dù.

Để loại bỏ bất kỳ sự nhầm lẫn nào về việc có thể rút ra các giá trị từ KDE hay không bằng cách sử dụng phương pháp bootstrap, điều đó là có thể . Bootstrap không giới hạn trong việc ước tính các khoảng biến thiên.

Dưới đây là một bootstrap được làm mịn với thuật toán hiệu chỉnh phương sai tạo ra các giá trị tổng hợp từ một KDE của cửa sổ . Nó xuất phát từ cuốn sách này của Silverman, xem trang 25 của tài liệu này , phần 6.4.1 "Mô phỏng từ ước tính mật độ". Như đã lưu ý trong cuốn sách, thuật toán này cho phép tìm thấy các nhận thức độc lập từ KDE , mà không cần phải biết rõ :$Y_{i}'s$$K$$h$$\hat{y}$$\hat{y}$

Để tạo giá trị tổng hợp (từ tập huấn luyện ):$Y$$\big\{X_{1},...X_{n}\big\}$

• Bước 1: Chọn thống nhất với thay thế từ ,$i$$\big\{1,...,n\big\}$
• Bước 2: Mẫu từ (nghĩa là từ phân phối Bình thường nếu là Gaussian),$\epsilon$$K$$K$
• Bước 3: Đặt .$Y=\bar{X}+(X_{i}-\bar{X}+h.\epsilon)/\sqrt{1+h^{2}{\sigma_{K}}^2/{\sigma_{X}}^2}$

Trong đó và là giá trị trung bình và phương sai mẫu và là phương sai của (nghĩa là 1 cho Gaussian ). Theo giải thích của Dougal, giá trị mong đợi của việc thực hiện là . Nhờ hiệu chỉnh phương sai, phương sai là (mặt khác, bootstrap được làm mịn mà không cần hiệu chỉnh phương sai, trong đó bước 3 chỉ đơn giản là , thổi phồng phương sai). σ X 2σ K 2KK ˉ X σ X 2Y=Xi+h. $\bar{X}$${\sigma_{X}}^2$${\sigma_{K}}^2$$K$$K$$\bar{X}$${\sigma_{X}}^2$$Y=X_{i}+h.\epsilon$

Đoạn mã R trong câu hỏi của tôi ở trên tuân thủ nghiêm ngặt thuật toán này.

Ưu điểm của bootstrap được làm mịn so với bootstrap là:

• "Các tính năng giả" trong dữ liệu không được sao chép vì các giá trị khác nhau từ các giá trị trong mẫu có thể được tạo,
• các giá trị vượt quá tối đa / phút của các quan sát có thể được tạo ra.