Tại sao phương sai của Đi bộ ngẫu nhiên tăng?

Bước đi ngẫu nhiên được xác định là $Y_{t} = Y_{t-1} + e_t$ , trong đó $e_t$ là tiếng ồn trắng. Biểu thị rằng vị trí hiện tại là tổng của vị trí trước đó + một thuật ngữ không dự đoán được.

Bạn có thể chứng minh rằng hàm trung bình , vì$\mu_t = 0$$E(Y_{t}) = E(e_1+ e_2+ ... +e_t) = E(e_1) + E(e_2) +... +E(e_t) = 0 + 0 + ... + 0$

Nhưng tại sao phương sai lại tăng tuyến tính theo thời gian?

Điều này có liên quan gì đến việc nó không "thuần túy" ngẫu nhiên không, vì vị trí mới rất tương quan với vị trí trước đó?

CHỈNH SỬA:

Bây giờ tôi đã hiểu rõ hơn nhiều bằng cách hình dung một mẫu lớn các bước đi ngẫu nhiên, và ở đây chúng ta có thể dễ dàng quan sát rằng phương sai tổng thể không tăng theo thời gian,

và giá trị trung bình là như mong đợi xung quanh không.

Có lẽ điều này là tầm thường, vì trong giai đoạn rất sớm của chuỗi thời gian (so sánh thời gian = 10, với 100), những người đi bộ ngẫu nhiên chưa có thời gian để khám phá nhiều.

Nói tóm lại, vì nó liên tục thêm phương sai của các mức tăng tiếp theo vào mức độ biến thiên mà chúng ta có trong việc đến nơi chúng ta đang ở hiện tại.

$\text{Var}(Y_{t}) = \text{Var}(e_1+ e_2+ ... +e_t)$
$\qquad\quad\;\;= \text{Var}(e_1) + \text{Var}(e_2) +... +\text{Var}(e_t)$ (tính độc lập)
$\qquad\quad\;\;= \sigma^2 + \sigma^2 + ... + \sigma^2=t\sigma^2\,,$

và chúng ta có thể thấy rằng $t\sigma^2$ tăng tuyến tính với $t$ .

Giá trị trung bình bằng 0 tại mỗi thời điểm; nếu bạn mô phỏng chuỗi nhiều lần và tính trung bình trên toàn chuỗi trong một thời gian nhất định, thì nó sẽ trung bình ở mức gần 0

$\quad^{\text{Figure: 500 simulated random walks with sample mean in white and }}$
$\quad^{ \pm \text{ one standard deviation in red. Standard deviation increases with } \sqrt{t}\,.}$

Đây là một cách để tưởng tượng nó. Để đơn giản hóa mọi thứ, chúng ta hãy thay thế tiếng ồn trắng của bạn với một đồng xu lật đ $e_i$$e_i$

Điều này chỉ đơn giản hóa việc trực quan hóa, không có gì thực sự cơ bản về việc chuyển đổi ngoại trừ việc giảm căng thẳng cho trí tưởng tượng của chúng ta.

Bây giờ, giả sử bạn đã tập hợp một đội quân chân chèo. Hướng dẫn của họ là, theo lệnh của bạn, lật đồng xu của họ và kiểm tra xem kết quả của họ là gì, cùng với tổng kết tất cả các kết quả trước đó của họ. Mỗi flipper cá nhân là một ví dụ của bước đi ngẫu nhiên

và tổng hợp trên tất cả quân đội của bạn sẽ cho bạn thực hiện hành vi dự kiến.

flip 1$W$$1$$-1$$2$

flip 2$W$$HH$$TT$$W$$2$$-2$$4$

...

flip n$W$$HH \cdots H$$TT \cdots T$$n$$n$$2n$

Vì vậy, đây là những gì bạn có thể thấy từ thí nghiệm suy nghĩ này:

• Kỳ vọng của cuộc đi bộ là bằng không, vì mỗi bước đi bộ được cân bằng.
• Tổng phạm vi của bước đi tăng trưởng tuyến tính với chiều dài của bước đi.

Để phục hồi trực giác, chúng tôi phải loại bỏ độ lệch chuẩn và sử dụng trong thước đo trực quan, phạm vi.

Điều này có liên quan gì đến việc nó không "thuần túy" ngẫu nhiên không, vì vị trí mới rất tương quan với vị trí trước đó?

Có vẻ như "thuần túy" bạn có nghĩa là độc lập . Trong bước đi ngẫu nhiên chỉ có các bước là ngẫu nhiên và độc lập với nhau. Như bạn đã lưu ý, "các vị trí" là ngẫu nhiên nhưng tương quan , nghĩa là không độc lập .

$E[Y_t]=0$$Y_t$là tất cả các số ngẫu nhiên khác không. Như một vấn đề thực tế, trong khi bạn tăng mẫu lớn hơn$Y_t$ đôi khi sẽ được quan sát, chính xác bởi vì, như bạn đã lưu ý, phương sai đang tăng theo kích thước mẫu.

Phương sai đang gia tăng bởi vì nếu bạn mở khóa vị trí như sau: $Y_t=Y_0+\sum_{i=0}^t\varepsilon_t$, bạn có thể thấy rằng vị trí là một tổng số các bước, rõ ràng. Phương sai cộng với kích thước mẫu tăng.

Nhân tiện, các phương tiện lỗi cũng cộng lại, nhưng trong một bước đi ngẫu nhiên, chúng ta thường cho rằng các phương tiện bằng không, vì vậy việc thêm tất cả các số không vẫn sẽ dẫn đến không. Có bước đi ngẫu nhiên với sự trôi dạt:$Y_t-Y_{t-1}=\mu+\varepsilon_t$, Ở đâu $Y_t$ sẽ trôi đi từ con số 0 $\mu t$ với thời gian mẫu.

Chúng ta hãy lấy một ví dụ khác cho một lời giải thích trực quan: ném phi tiêu vào phi tiêu. Chúng tôi có một người chơi, người cố gắng nhắm vào bullseye, mà chúng tôi coi là tọa độ gọi là 0. Người chơi ném một vài lần, và thực sự, ý nghĩa của cú ném của anh ta là 0, nhưng anh ta không thực sự tốt, vì vậy phương sai là 20 cm.

Chúng tôi yêu cầu người chơi ném một phi tiêu mới. Bạn có mong đợi nó sẽ tấn công bullseye?

Không. Mặc dù giá trị trung bình chính xác là bullseye, nhưng khi chúng ta thử một cú ném, nó hoàn toàn không phải là bullseye.

Theo cùng một cách, với việc đi bộ ngẫu nhiên, chúng ta không mong đợi một mẫu duy nhất tại một thời điểm $t$ ở bất cứ đâu gần 0. Đó thực tế là những gì phương sai chỉ ra: chúng ta mong đợi một mẫu sẽ ở bao xa?

Tuy nhiên, nếu chúng tôi lấy rất nhiều mẫu, chúng tôi sẽ thấy rằng nó tập trung vào khoảng 0. Giống như người chơi phi tiêu của chúng tôi sẽ gần như không bao giờ đánh bullseye (phương sai lớn), nhưng nếu anh ta ném nhiều phi tiêu, anh ta sẽ đặt chúng ở giữa xung quanh bullseye (có nghĩa là).

If we extend this example to the random walk, we can see that the variance increases with time, even though the mean stays at 0. In the random walk case, it seems strange that the mean stays at 0, even though you will intuitively know that it almost never ends up at the origin exactly. However, the same goes for our darter: we can see that any single dart will almost never hit bullseye with an increasing variance, and yet the darts will form a nice cloud around the bullseye - the mean stays the same: 0.

Đây là một cách khác để có được trực giác rằng phương sai tăng tuyến tính theo thời gian.

Trả về tăng tuyến tính theo thời gian. $.1\%$ trở lại mỗi tháng dịch vào $1.2\%$ lợi nhuận mỗi năm - $X$ lợi nhuận mỗi ngày tạo ra $365X$ lợi nhuận mỗi năm (giả định độc lập).

Nó có ý nghĩa rằng phạm vi của lợi nhuận cũng tăng tuyến tính. Nếu lợi nhuận hàng tháng là$.1\%$ Trung bình $\pm .05\%$, sau đó nó có ý nghĩa trực quan rằng mỗi năm nó là $1.2\%$ Trung bình $\pm .6\%$.

Chà, nếu chúng ta trực giác nghĩ về phương sai là phạm vi, thì nó có ý nghĩa trực quan rằng phương sai tăng theo cùng một cách như quay trở lại theo thời gian, đó là tuyến tính.