MLE của một quá trình Hawkes đa biến

Tôi đang vật lộn với việc thực hiện công cụ ước tính khả năng tối đa cho quy trình Hawkes đa biến (HP). Cụ thể, trong khi biểu thức phân tích cho chức năng khả năng ghi nhật ký của HP đơn biến có thể dễ dàng tìm thấy trực tuyến (ví dụ Ozaki, 1979), dường như có các phiên bản khác nhau (không nhất quán hoặc tương đương?) Của chức năng khả năng đăng nhập của HP đa biến ngoài đó. Tôi cũng đã cố gắng rút ra công cụ ước tính dưới đây và tôi nhận được một kết quả khác (mặc dù tôi rất mới đối với chủ đề này). Ai đó có thể làm rõ điều này cho tôi? Cảm ơn!

Đây là hướng đi của riêng tôi tại một phái sinh (tôi theo ký hiệu được sử dụng trong Laub et al., 2015). Hãy xem xét tập hợp các quá trình đếm với thời gian đến được quan sát cho mỗi quá trình đếm ( và a số tự nhiên). Xác định một HP đa biến với các hàm ngoại lệ phân rã theo cấp số nhân sao cho cường độ là . Đối với HP biến thiên này, khả năng đăng nhập bằng tổng số khả năng đăng nhập riêng lẻ, tức là:N = ( N 1 , . . , N m ) t i , j i = 1 , . . , m j λ ∗ i ( t ) = λ i + m ∑ j = 1 ∑ t j , k < t α i , j e - β i , j ( t $m$$N=(N_{1},..,N_{m})$$t_{i,j}$$i=1,..,m$$j$ lnL(t)lnL(t)= m ∑ j = 1 lnL j (t$\lambda^{*}_{i}(t)=\lambda_{i}+\sum\limits_{j=1}^{m}\sum\limits_{t_{j,k}<t}\alpha_{i,j}e^{-\beta_{i,j}(t-t_{j,k})}$$\ln L(t)$$\ln L(t)=\sum\limits_{j=1}^{m} \ln L^{j}(t)$, với mỗi thành phần riêng lẻ .$\ln L^{j}(t)=-\int\limits_{0}^{T} \lambda^{*}_{j}(u)\mathrm{d}u+\int\limits_{0}^{T} \ln\lambda^{*}_{j}(u)\mathrm{d}N_{j}(u)$

Trước tiên chúng ta hãy tập trung vào phần đầu tiên, mà chúng ta gọi là bộ bù .$\varLambda$

Kết hợp điều này với kết quả cho các phần khác của khả năng đăng nhập sẽ dẫn đến: $\ln L^{1}(t_i)= -\lambda_{1}T - \frac{\alpha_{1,1}}{\beta_{1,1}}\sum\limits_{f=1}^{F}[e^{-\beta_{1,1} (t_{1,F} - t_{1,f})}-1] - \frac{\alpha_{1,2}}{\beta_{1,2}}\sum\limits_{g=1}^{G}[e^{-\beta_{1,2} (t_{2,G} - t_{2,g})}-1] + \sum\limits_{f=1}^{F} \ln [\lambda_{1}+\sum\limits_{j=1}^{2} \alpha_{1,j}R_{1,j}(f)]$

với . Một biểu thức tương tự có thể được suy ra cho .$R_{1,j}(f)= \sum\limits_{t_{j,k}<t_{1,f}}e^{-\beta_{1,j}(t_{1,f}-t_{j,k})}$$\ln L^{2}(t_i)$

Tuy nhiên, khi tôi so sánh kết quả này với các bài viết khác, tôi nhận thấy một số khác biệt. Ví dụ, trong Toke (slide 56), biểu thức cho bộ bù rất khác nhau (tính tổng cho mọi phần tử cho mọi loại sự kiện) và, ngoài ra, không có thuật ngữTiếp theo, trong Crowley (2013) (trang 29), biểu thức cho bộ bù được trau chuốt hơn nhiều. Hơn nữa, phương trình trên 2.8 (trang 9) trong Zheng (2013) lại đưa ra một phương án thay thế (tính tổng một tập hợp các phần tử cho mỗi loại sự kiện) (lưu ý: có một triển khai Matlab ở cuối tài liệu). Bài viết gần giống với những gì tôi tìm thấy là trang 6 trong Carlsson et al. (2007). Như bạn thấy tôi rõ ràng bối rối. Hàm khả năng chính xác mà tôi nên lập trình là gì?$\lambda_{i}T$

Người giới thiệu:

• Ozaki, 1979, Ước tính khả năng tối đa của các quá trình điểm tự kích thích của Hawkes

• Crowley, 2013, Các mô hình quy trình điểm cho dữ liệu cách đều nhau tần số cao không thường xuyên

• Laub, Taimre & Pollett, 2015, Quy trình Hawkes

• Zheng, 2013, Động lực cao tần của dòng lệnh

• Carlsson, Foo, Lee & Shek, 2007, Dự đoán thương mại tần số cao với quy trình Hawkes Bivariate

Có một lỗi nhỏ trong đạo hàm. Trong dòng 5 (trong hình được chèn), người ta cần để nhận dạng chính xác và điều này thường không đúng. Các thuật ngữ trong tổng cuối cùng phải là và , tương ứng. Nếu không thì đạo hàm có vẻ đúng.$T = t_{1,F} = t_{2,G}$$e^{-\beta_{i,1}(T - t_{1,f})} - 1$$e^{-\beta_{i,2}(T - t_{2,g})} - 1$

Một dẫn xuất đơn giản hơn một chút có thể lấy dòng 3 làm điểm bắt đầu. Sau đó, trao đổi các khoản tiền và tích hợp với các kết quả hạnh phúc không thể thiếu bên trong từ để .$t_{j,k}$$T$

$\lambda_i^*(t_{i,j})$

$\lambda_i$$\lambda_i T$