Tìm MVUE độc đáo

Câu hỏi này là từ Giới thiệu về Thống kê toán học Phiên bản thứ 6 của Robert Hogg, vấn đề 7.4.9 ở trang 38.

Đặt là iid với pdf zero ở nơi khác, trong đó . $X_1,...,X_n$ $f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta<x<2\theta,$ $\theta>0$

(a) Tìm mle của $\hat{\theta}$ $\theta$

(b) có đủ số liệu thống kê cho không? Tại sao ? $\hat{\theta}$ $\theta$

Tôi nghĩ rằng tôi có thể giải (a) và (b), nhưng tôi bị nhầm lẫn bởi (c).

Cho một):

Đặt là thống kê đơn hàng. $Y_1<Y_2<...Y_n$

$L(\theta;x)=\frac{1}{3\theta}\times\frac{1}{3\theta}\times...\times\frac{1}{3\theta}=\frac{1}{(3\theta)^n}$ khi và ; ở nơi khác $-\theta< y_1$ $y_n < 2\theta$ $L(\theta;x)=0$

$\frac{dL(\theta;x)}{d\theta}=-n(3\theta)^{n-1}$ , vì , chúng ta có thể thấy đạo hàm này là âm, $\theta>0$

vì vậy khả năng hàm đang giảm. $L(\theta;x)$

Từ và , và $(-\theta< y_1$ $y_n < 2\theta)$ $\Rightarrow$ $(\theta>-y_1$ $\theta>y_n/2), \Rightarrow \theta>max(-y_1,y_n/2)$

$L(\theta,x)$ đang giảm, vì vậy khi có giá trị mẫu nhất, hàm khả năng sẽ đạt được tối đa, vì , khi , hàm khả năng sẽ đạt được giá trị tối đa. $\theta$ $\theta>max(-y_1,y_n/2)$ $\theta=max(-y1,y_n/2)$

$\therefore$ mle $\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

Dành cho (b):

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(max(x_i)<2\theta)\times 1$

$\therefore$ Theo định lý nhân tố của Neyman, là một thống kê đủ cho . Do đó, cũng là một statisitc đầy đủ $y_n=max(x_i)$ $\theta$ $y_n/2$

Samely

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(min(x_i)>-\theta)\times 1$

$\therefore$ Theo định lý nhân tố của Neyman, là một thống kê đủ cho . Do đó, cũng là một statisitc đầy đủ. $y_1=min(x_i)$ $\theta$ $-y_1$

Đối với (c):

Đầu tiên, chúng tôi tìm thấy CDF của $X$

$F(x)=\int_{-\theta}^{x}\frac{1}{3\theta}dt=\frac{x+\theta}{3\theta},-\theta<x<2\theta$

Tiếp theo, chúng ta có thể tìm thấy pdf cho cả và từ công thức của cuốn sách để thống kê đơn hàng. $Y_1$ $Y_n$

$f(y_1)=\frac{n!}{(1-1)!(n-1)!}[F(y_1)]^{1-1}[1-F(y_1)]^{n-1}f(y_1)=n[1-\frac{y_1+\theta}{3\theta}]^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

Samely

$f(y_n)=n(\frac{y_n+\theta}{3\theta})^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

Tiếp theo, chúng tôi cho thấy sự hoàn chỉnh của họ pdf cho và $f(y_1)$ $f(y_n)$

$E[u(Y_1)]=\int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=0 \Rightarrow \int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)(2\theta-y_1)dy_1=0$ . Bằng (dẫn xuất tích phân), chúng ta có thể hiển thị cho tất cả . $FTC$ $u(\theta)=0$ $\theta>0$

Do đó, họ pdf đã hoàn tất .. $Y_1$

Samely, vẫn bằng , chúng tôi có thể chỉ ra rằng họ pdf đã hoàn tất. $FTC$ $Y_n$

Vấn đề là bây giờ chúng ta cần chỉ ra rằng không thiên vị. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

Khi $\hat{\theta}=-y_1$

$E(-y_1)=\int_{-\theta}^{2\theta}(-y_1)\frac{n}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_1d(2\theta-y_1)^n$

Chúng ta có thể giải tích phân bằng cách tích hợp bởi các phần

$E(-y_1)=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_1(2\theta-y_1)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(2\theta-y_1)^ndy_1]=\frac{1}{(3\theta)^n}[\theta (3\theta)^n-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{(n-2)\theta}{n+1}$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(-y_1)=\frac{n+1}{n}\frac{(n-2)\theta}{n+1}=\frac{n-2}{n}\theta$

Do đó, không phải là công cụ ước tính không thiên vị của khi $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

Khi $\hat{\theta}=y_n/2$

$E(Y_n)=\int_{-\theta}^{2\theta}y_n\frac{n}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}dy_n=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_nd(y_n+\theta)^n=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_n(y_n+\theta)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(y_n+\theta)^ndy_n]=\frac{1}{(3\theta)^n}[2\theta(3\theta)^-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=2\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{2n-1}{n+1}\theta$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(Y_n/2)=\frac{n+1}{2n}E(Y_n)=\frac{n+1}{2n}\frac{2n-1}{n+1}\theta=\frac{2n-1}{2n}\theta$

Tuy nhiên, không phải là công cụ ước tính không thiên vị của khi $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$

Nhưng câu trả lời của cuốn sách là là một MVUE độc đáo. Tôi không hiểu tại sao nó là MVUE nếu nó là một công cụ ước tính thiên vị. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

Hoặc những sai sót của tôi là sai, xin hãy giúp tôi tìm ra những sai lầm, tôi có thể cung cấp cho bạn các tính toán chi tiết hơn.

Cảm ơn rât nhiều.

— Bắc sâu
nguồn

Tôi không thấy bất kỳ tính toán nào về phân phối của .

\hat{θ}

$\hat\theta$

— whuber

Cảm ơn, người đánh bóng, . Đó là hoặc tùy thuộc vào cái nào lớn hơn. Tôi đã tính toán các bản phân phối cho cả và . Bạn có thể thấy và trong văn bản.

\hat{θ} = m a x (- y_{1}, y_{n} / 2)

$\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

- y_{1}

$-y_1$

y_{n} / 2

$y_n/2$

y_{1}

$y_1$

y_{n}

$y_n$

f (y_{1}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (2 θ - y_{1})^{n - 1}

$f(y_1)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

f (y_{n}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (y_{n} + θ)^{n - 1}

$f(y_n)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

— Miền Bắc sâu

Và từ hai bản phân phối ở trên, tôi đã tính và rồi

E (\hat{θ}) = E (- Y_{1})

$E(\hat{\theta})=E(-Y_1)$

E (\hat{θ}) = E (Y_{n} / 2)

$E(\hat{\theta})=E(Y_n/2)$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ})

$E(\frac{n+1}{n}\hat{\theta})$

— Miền Bắc sâu

Làm việc với extrema đòi hỏi sự chăm sóc, nhưng nó không phải là khó khăn. Câu hỏi quan trọng, được tìm thấy gần giữa bài, là

... chúng ta cần chỉ ra rằng là không thiên vị. $\frac{n+1}{n}{\hat \theta}^{n}$

Trước đó bạn có được

\hat{θ} = = tối đa (- y_{1}, y_{n} / 2) = = tối đa {- tối thiểu {y_{Tôi}}, tối đa {y_{Tôi}} / 2} .

$\hat\theta = \max(-y_1, y_n/2) = \max\{-\min\{y_i\}, \max\{y_i\}/2\}.$

Mặc dù rằng có vẻ lộn xộn, các tính toán trở thành tiểu khi bạn xem xét các tích lũy hàm phân bố . Để bắt đầu với điều này, lưu ý rằng . Đặt là một số trong phạm vi này. Theo định nghĩa, $F$ $0\le \hat\theta \le \theta$ $t$

\begin{aligned} F (t) & = = Pr (\hat{θ} \leq t) \\ = = Pr (- y_{1} < t và y_{n} / 2 \leq t) \\ = = Pr (- t \leq y_{1} \leq y_{2} \dots \leq y_{n} \leq 2 t) . \end{aligned}

$\eqalign{ F(t) &= \Pr(\hat\theta\le t) \\&= \Pr(-y_1 \lt t\text{ and }y_n/2 \le t) \\ &= \Pr(-t \le y_1 \le y_2 \cdots \le y_n \le 2t). }$

Đây là cơ hội mà tất cả giá trị nằm giữa và . Những giá trị đó ràng buộc một khoảng dài . Vì phân phối là đồng nhất, nên xác suất mà bất kỳ cụ thể nào nằm trong khoảng này đều tỷ lệ thuận với độ dài của nó: $n$ $-t$ $2t$ $3t$ $y_i$

Pr (y_{Tôi} \in [- t, 2 t]) = = \frac{3 t}{3 θ} = = \frac{t}{θ} .

$\Pr(y_i \in [-t, 2t]) = \frac{3t}{3\theta} = \frac{t}{\theta}.$

Vì độc lập, các xác suất này nhân lên, cho $y_i$

F (t) = = {(\frac{t}{θ})}^{n} .

$F(t) = \left(\frac{t}{\theta}\right)^n.$

Có thể tìm thấy sự mong đợi ngay lập tức bằng cách tích hợp chức năng sống sót trong khoảng thời gian của các giá trị có thể cho , , sử dụng cho biến: $1-F$ $\hat\theta$ $[0, \theta]$ $y=t/\theta$

E (\hat{θ}) = = \int_{0}^{θ} (1 - {(\frac{t}{θ})}^{n}) d t = = \int_{0}^{1} (1 - y^{n}) θ d y = = \frac{n}{n + 1} θ .

$\mathbb{E}(\hat\theta) = \int_0^\theta \left(1 - \left(\frac{t}{\theta}\right)^n\right)dt = \int_0^1 (1-y^n)\theta dy = \frac{n}{n+1}\theta.$

(Công thức cho kỳ vọng này được lấy từ tích phân thông thường thông qua tích hợp bởi các bộ phận. Chi tiết được đưa ra ở cuối /stats//a/105464 .)

Rescaling bởi cho $(n+1)/n$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ}) = = θ,

$\mathbb{E}\left(\frac{n+1}{n}\,{\hat \theta}\right) = \theta,$

QED .

— whuber
nguồn

Có một lỗi đánh máy cho công thức cuối cùng, nó phải là không

\hat{θ}

$\hat \theta$

{\hat{θ}}^{n}

$\hat \theta^n$

— Deep North

@Deep Oh, tất nhiên! Cảm ơn bạn đã chỉ ra rằng. Bây giờ nó đã được sửa.

— whuber

Tìm MVUE độc đáo

Tôi nghĩ rằng tôi có thể giải (a) và (b), nhưng tôi bị nhầm lẫn bởi (c).

Vấn đề là bây giờ chúng ta cần chỉ ra rằng không thiên vị.(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}

Do đó, không phải là công cụ ước tính không thiên vị của khi q q =-y1(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=−y1θ^=−y1\hat{\theta}=-y_1

Tuy nhiên, không phải là công cụ ước tính không thiên vị của khi( N + 1 ) θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}q = y n / 2θθ\thetaθ^= yn/ 2θ^= =yn/2\hat{\theta}=y_n/2

Nhưng câu trả lời của cuốn sách là là một MVUE độc đáo. Tôi không hiểu tại sao nó là MVUE nếu nó là một công cụ ước tính thiên vị.( N + 1 ) θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}

Vấn đề là bây giờ chúng ta cần chỉ ra rằng không thiên vị. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

Do đó, không phải là công cụ ước tính không thiên vị của khi $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

Tuy nhiên, không phải là công cụ ước tính không thiên vị của khi $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$

Nhưng câu trả lời của cuốn sách là là một MVUE độc đáo. Tôi không hiểu tại sao nó là MVUE nếu nó là một công cụ ước tính thiên vị. $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$