Giá trị mong đợi như là một hàm của lượng tử?

Tôi đã tự hỏi nơi có một công thức chung để liên kết giá trị mong đợi của một biến ngẫu nhiên liên tục là hàm của các lượng tử của cùng một rv Giá trị mong đợi của rv được định nghĩa là: và lượng tử được định nghĩa là: cho .E ( X ) = ∫ x d F X ( x ) Q p X = { x : F X ( x ) = p } = F - 1 X ( p ) p ∈ ( 0 , 1 $X$
$E(X) = \int x dF_X(x)$$Q^p_X = \{x : F_X(x) = p \} =F_X^{-1}(p)$$p\in(0,1)$

Chẳng hạn, có một hàm hàm sao cho: E ( X ) = ∫ p ∈ ( 0 , 1 ) G ( Q p X ) d $G$$E(X) = \int_{p\in(0,1)} G(Q^p_X) dp$

Nghịch đảo (nghịch đảo phải trong trường hợp rời rạc) của hàm phân phối tích lũy được gọi là hàm lượng tử, thường được ký hiệu là . Kỳ vọng có thể được đưa ra dưới dạng hàm lượng tử (khi kỳ vọng tồn tại ...) là Đối với trường hợp liên tục, điều này có thể được hiển thị thông qua một sự thay thế đơn giản trong tích phân: Write và sau đó thông qua sự khác biệt ngầm dẫn đến : Chúng tôi đã nhận từ bằng cách áp dụng$F(x)$$Q(p)=F^{-1}(p)$$\mu$

$$\mu=\int_0^1 Q(p)\; dp$$ $$\mu = \int x f(x) \; dx$$ $p=F(x)$$dp = f(x) \; dx$ $$\mu = \int x \; dp = \int_0^1 Q(p) \; dp$$ $x=Q(p)$$p=F(x)$$Q$ cả từ hai phía.