Giá trị mong đợi của x trong một phân phối bình thường, GIVEN rằng nó nằm dưới một giá trị nhất định

Chỉ cần tự hỏi nếu có thể tìm thấy giá trị Mong đợi của x nếu nó được phân phối bình thường, với giá trị dưới một giá trị nhất định (ví dụ, dưới giá trị trung bình).

normal-distribution conditional-probability expected-value

— Hoa nhài
nguồn

Đó là tất nhiên có thể. Tối thiểu bạn có thể tính toán bằng lực lượng vũ phu . Hoặc nếu bạn biết và bạn có thể ước tính nó bằng cách sử dụng một mô phỏng.

F (t)^{- 1} \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(t)^{-1} \int_{- \infty}^{x} t f(t) dt$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— DSaxton

@dsaxton Có một số lỗi chính tả trong công thức đó, nhưng chúng tôi có ý tưởng. Điều tôi tò mò là chính xác bạn sẽ chạy mô phỏng như thế nào khi ngưỡng nằm dưới mức trung bình.

— whuber

@whuber Có, phải là . Sẽ không thông minh lắm khi thực hiện mô phỏng khi gần bằng 0, nhưng như bạn đã chỉ ra rằng dù sao cũng có một công thức chính xác.

F (t)

$F(t)$

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— DSaxton

@dsaxton OK, đủ công bằng. Tôi chỉ hy vọng bạn có trong đầu một số ý tưởng thông minh và đơn giản để mô phỏng từ phần đuôi của một bản phân phối bình thường.

— whuber

Nhiều hơn hoặc ít hơn cùng một câu hỏi trong Math.SE: math.stackexchange.com/questions/749664/alusive-iq-of-mensa

— JiK 8/8/15

Câu trả lời:

Một biến được phân phối bình thường với trung bình và phương sai có cùng phân phối với trong đó là biến thông thường tiêu chuẩn. Tất cả những gì bạn cần biết về là $X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma Z + \mu$ $Z$ $Z$

hàm phân phối tích lũy của nó được gọi là , $\Phi$
nó có hàm mật độ xác suất và đó $\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
$\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$ .

Hai viên đạn đầu tiên chỉ là ký hiệu và định nghĩa: thứ ba là tài sản đặc biệt duy nhất của các bản phân phối bình thường mà chúng ta sẽ cần.

Hãy để cho "giá trị nhất định" được . Dự đoán sự thay đổi từ thành , xác định $T$ $X$ $Z$

t = (T - μ) / σ,

$t = (T-\mu)/\sigma,$

vậy nên

Pr (X \leq T) = Pr (Z \leq t) = Φ (t) .

$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$

Sau đó, bắt đầu với định nghĩa về kỳ vọng có điều kiện, chúng ta có thể khai thác tính tuyến tính của nó để có được

\begin{aligned} E (X | X \leq T) & = E (σ Z + μ | Z \leq t) = σ E (Z | Z \leq t) + μ E (1 | Z \leq t) \\ = (σ \int_{- \infty}^{t} z ϕ (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} ϕ (z) d z) / Pr (Z \leq t) \\ = (- σ \int_{- \infty}^{t} ϕ^{'} (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} Φ^{'} (z) d z) / Φ (t) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$

Định lý cơ bản của tính toán khẳng định rằng bất kỳ tích phân nào của đạo hàm đều được tìm thấy bằng cách đánh giá hàm tại các điểm cuối: . Điều này áp dụng cho cả tích hợp. Vì cả và phải biến mất tại , chúng tôi có được $\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$ $\Phi$ $\phi$ $-\infty$

E (X | X \leq T) = μ - σ \frac{ϕ (t)}{Φ (t)} .

$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$

Đó là giá trị trung bình ban đầu trừ đi một thuật ngữ điều chỉnh tỷ lệ thuận với Tỷ lệ nghịch đảo .

Như chúng ta mong đợi, tỷ lệ Nghịch đảo ngược cho phải dương và vượt quá (có biểu đồ được hiển thị với một đường màu đỏ chấm). Nó phải giảm xuống khi phát triển lớn, sau đó việc cắt ở (hoặc ) thay đổi gần như không có gì. Khi phát triển rất âm, tỷ lệ Nghịch đảo phải tiếp cận vì các đuôi của phân phối bình thường giảm nhanh đến mức hầu như tất cả xác suất ở đuôi bên trái đều tập trung ở phía bên tay phải (tại ). $t$ $-t$ $0$ $t$ $Z=t$ $X=T$ $t$ $-t$ $t$

Cuối cùng, khi ở mức trung bình, trong đó Tỷ lệ các nhà máy nghịch đảo bằng . Điều này ngụ ý giá trị mong đợi của , bị cắt ở mức trung bình của nó (là âm của phân phối nửa bình thường ), là với độ lệch chuẩn của nó dưới giá trị trung bình ban đầu. $T = \mu$ $t=0$ $\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$ $X$ $-\sqrt{2/\pi}$

— whuber
nguồn

Nói chung, để có hàm phân phối . $X$ $F(X)$

Chúng tôi có, với , Bạn có thể nhận được các trường hợp đặc biệt bằng cách lấy, ví dụ: , mang lại . $x\in[c_1,c_2]$

\begin{array}{rcl} P (X \leq x | c_{1} \leq X \leq c_{2}) & = & \frac{P (X \leq x \cap c_{1} \leq X \leq c_{2})}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} = \frac{P (c_{1} \leq X \leq x)}{P (c_{1} \leq X \leq c_{2})} \\ = & \frac{F (x) - F (c_{1})}{F (c_{2}) - F (c_{1})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$

c_{1} = - \infty

$c_1=-\infty$

F (c_{1}) = 0

$F(c_1)=0$

Sử dụng các cdf có điều kiện, bạn có thể nhận được mật độ có điều kiện (ví dụ: cho ), có thể được sử dụng cho các kỳ vọng có điều kiện. $f(x|X<0)=2\phi(x)$ $X\sim N(0,1)$

Trong ví dụ của bạn, tích hợp theo các phần cho như trong câu trả lời của @ whuber.

E (X | X < 0) = 2 \int_{- \infty}^{0} x ϕ (x) = - 2 ϕ (0),

$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$

— Christoph Hanck
nguồn

+1 (bằng cách nào đó tôi đã bỏ lỡ điều này khi nó xuất hiện lần đầu tiên). Phần đầu tiên là một tài khoản tuyệt vời về cách có được các hàm phân phối bị cắt cụt và phần thứ hai cho thấy cách tính các tệp PDF của họ.

— whuber