Tìm phân phối chung của và

Câu hỏi này là từ Giới thiệu về Thống kê toán học của Robert Hogg phiên bản thứ 6 7.6.7. Vấn đề là :

Đặt một mẫu ngẫu nhiên có kích thước được lấy từ một bản phân phối với pdf $n$
$f (x; θ) = (1 / θ) \exp (- x / θ) I_{(0, \infty)} (x)$ $f(x;\theta)=(1/\theta)\exp(-x/\theta)\mathbb{I}_{(0,\infty)}(x)$

Tìm MLE và MVUE của . $P(X \le 2)$

Tôi biết làm thế nào để tìm MLE.

Tôi nghĩ ý tưởng để tìm MVUE là sử dụng Rao-Blackwell và Lehmann và Scheffe. Trước tiên, chúng tôi tìm thấy một công cụ ước tính không thiên vị của có thể là và chúng tôi biết a đủ thống kê. $P(X \le 2)$ $\mathbb{I}_{(0,2)}(X_1)$ $Y=\sum_{i=1}^n X_i$

Khi đó sẽ là MUVE. $\mathbb{E}[I_{(0,2)}(X_1)\mid Y]$

Để tìm kỳ vọng, chúng ta cần phân phối chung và $X_1$ $Y=\sum_{i=1}^n X_i$

Tôi bị kẹt ở đây.

Cuốn sách có một giải pháp, nhưng tôi không hiểu giải pháp. Giải pháp cho biết chúng ta hãy tìm phân phối chung của và nhưng trước tiên hãy để và Jacobian là một trong đó chúng ta tích hợp các biến khác đó. $Z=X_1$ $Y$ $V=X_1+X_2$ $U=X_1+X_2+X_3+...$

Làm thế nào đến Jacobian bằng với một?

Câu trả lời cho phân phối chung là
$g (z, y; θ) = \frac{(y - z)^{n - 2}}{(n - 2)! θ^{n}} e^{- y / θ}$ $g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{(n-2)!\theta^n}e^{-y/\theta}$

Làm thế nào để chúng ta có được điều này?

Cập nhật: Theo đề xuất của Xi'an (cuốn sách gợi ý chuyển đổi gây nhầm lẫn), chúng ta hãy thực hiện chuyển đổi theo cách sau:

Để cho

\begin{aligned} Y_{1} & = X_{1}, \\ Y_{2} & = X_{1} + X_{2}, \\ Y_{3} & = X_{1} + X_{2} + X_{3}, \\ Y_{4} & = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4}, \\ ⋮ \\ Y_{n} & = X_{1} + X_{2} + X_{3} + X_{4} + \dots + X_{n} \end{aligned}

$\begin{align} Y_1 & =X_1, \\Y_2 & =X_1+X_2,\\ Y_3 & =X_1+X_2+X_3, \\Y_4 & =X_1+X_2+X_3+X_4, \\ & \quad \vdots \\Y_n & =X_1+X_2+X_3+X_4+\cdots+X_n \end{align}$

sau đó

\begin{aligned} X_{1} & = Y_{1}, \\ X_{2} & = Y_{2} - Y_{1}, \\ X_{3} & = Y_{3} - Y_{2}, \\ X_{4} & = Y_{4} - Y_{3}, \\ ⋮ \\ X_{n} & = Y_{n} - Y_{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align} X_1 & =Y_1, \\ X_2 & =Y_2-Y_1,\\ X_3 & =Y_3-Y_2,\\X_4 & =Y_4-Y_3,\\ & \,\,\,\vdots \\ X_n & =Y_n-Y_{n-1} \end{align}$

và Jacobian tương ứng là:

| J | = | \begin{matrix} \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{1}}{\partial y_{n}} \\ \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{2}}{\partial y_{n}} \\ \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{3}}{\partial y_{n}} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{1}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{2}} & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{3}} & \dots & \frac{\partial x_{n}}{\partial y_{n}} \end{matrix} | = \begin{array}{r} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ - 1 & 1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & - 1 & 1 & \dots & 0 & 0 \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & \dots & - 1 & 1 \end{array} = 1

$\left | J \right |=\begin{vmatrix} \frac{\partial x_1}{\partial y_1} &\frac{\partial x_1}{\partial y_2} &\frac{\partial x_1}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_1}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_2}{\partial y_1} &\frac{\partial x_2}{\partial y_2} &\frac{\partial x_2}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_2}{\partial y_n} \\ \frac{\partial x_3}{\partial y_1} &\frac{\partial x_3}{\partial y_2} &\frac{\partial x_3}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_3}{\partial y_n} \\ \vdots&\vdots & \vdots & &\vdots \\ \frac{\partial x_n}{\partial y_1} &\frac{\partial x_n}{\partial y_2} &\frac{\partial x_n}{\partial y_3} &\cdots &\frac{\partial x_n}{\partial y_n} \end{vmatrix}=\begin{array}{r} 1& 0 &0 & \cdots &0 &0 \\ -1& 1 & 0 & \cdots & 0&0\\ 0&-1 & 1 & \cdots &0 &0\\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0&0 &0 & \cdots & -1&1 \end{array}=1$

Vì là iid [hoặc ], mật độ chung của là: $X_1,X_2,\ldots,X_n$ $\Gamma(1,\theta)$ $\mathcal{E}(1/\theta)$ $x_1,x_2,\ldots,x_n$

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}) = \frac{1}{θ} \exp (- x_{1} / θ) \times \frac{1}{θ} \exp (- x_{2} / θ) \times \dots \times \frac{1}{θ} \exp (- x_{n} / θ) I_{x_{1} \geq 0} \dots I_{x_{n} \geq 0}

$f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\frac{1}{\theta}\exp(-x_1/\theta) \times\frac{1}{\theta} \exp(-x_2/\theta)\times \cdots\times\frac{1}{\theta}\exp(-x_n/\theta) \mathbb{I}_{x_1\ge 0} \cdots\mathbb{I}_{x_n\ge 0}$

Do đó, pdf chung của là $(Y_1,Y_2,\ldots, Y_n)$

\begin{aligned} h (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n}) & = \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{1} / θ) \exp [- (y_{2} - y_{1}) / θ] \exp [- (y_{3} - y_{2}) / θ] \dots \exp [- (y_{n} - y_{n - 1}) / θ] | J | I_{y_{1} \geq 0} I_{y_{2} - y_{1} \geq 0} \dots I_{y_{n} - y_{n - 1} \geq 0} \\ = \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) I_{y_{1} \geq 0} I_{y_{2} \geq y_{1}} \dots I_{y_{n} \geq y_{n - 1}} \end{aligned}

$\begin{align*}h(y_1,y_2,\ldots,y_n)&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_1/\theta)\exp[-(y_2-y_1)/\theta]\exp[-(y_3-y_2)/\theta]\cdots\exp[-(y_n-y_{n-1})/\theta]\left |J \right |\mathbb{I}_{y_1\ge 0}\mathbb{I}_{y_2-y_1\ge 0}\cdots\mathbb{I}_{y_n-y_{n-1} \ge 0}\\&=\frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\mathbb{I}_{y_1\ge 0} \mathbb{I}_{y_2\ge y_1}\cdots\mathbb{I}_{y_n\ge y_{n-1}}\end{align*}$

Tiếp theo, chúng ta có thể tích hợp ra để có được pdf và $y_2,y_3,\ldots,y_{n-1}$ $y_1$ $y_n$

Nhờ các đề xuất từ Xi'an, bây giờ tôi có thể giải quyết vấn đề, tôi sẽ đưa ra các tính toán chi tiết bên dưới

\begin{aligned} g (y_{1}, y_{n}) = & \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}} \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) d y_{n - 1} d y_{n - 2} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \\ \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}} d y_{n - 1} d y_{n - 2} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 4}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 3}}^{y_{n}} (y_{n} - y_{n - 2}) d y_{n - 2} d y_{n - 3} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 5}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 4}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 3})^{2}}{2} d y_{n - 3} d y_{n - 4} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 6}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 5}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 4})^{3}}{2 \times 3} d y_{n - 4} d y_{n - 5} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 7}}^{y_{n}} \int_{y_{n - 6}}^{y_{n}} \frac{(y_{n} - y_{n - 5})^{4}}{2 \times 3 \times 4} d y_{n - 5} d y_{n - 4} \dots d y_{3} d y_{2} \\ = & \dots \\ = & \frac{1}{θ^{n}} \exp (- y_{n} / θ) \frac{(y_{n} - y_{1})^{n - 2}}{(n - 2)!} \end{aligned}

$\begin{align} g(y_1,y_n) = {} &\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-3}}^{y_n} \int_{y_{n-2}}^{y_n} \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)dy_{n-1}dy_{n-2} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\\ & \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-3}}^{y_n}\int_{y_{n-2}}^{y_n} \, dy_{n-1}\,dy_{n-2}\cdots dy_3\,dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-4}}^{y_n}\int_{y_{n-3}}^{y_n}(y_n-y_{n-2})\,dy_{n-2}\,dy_{n-3}\cdots dy_3\,dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-5}}^{y_n}\int_{y_{n-4}}^{y_n}\frac{(y_n-y_{n-3})^2}{2}dy_{n-3} \,dy_{n-4}\cdots dy_3 \, dy_2 \\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n }\int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-6}}^{y_n} \int_{y_{n-5}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-4})^3}{2 \times 3} \, dy_{n-4} \, dy_{n-5} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \frac{1}{\theta^n} \exp(-y_n/\theta) \int_{y_1}^{y_n} \int_{y_2}^{y_n} \cdots \int_{y_{n-7}}^{y_n} \int_{y_{n-6}}^{y_n} \frac{(y_n-y_{n-5})^4}{2 \times 3 \times 4} \, dy_{n-5} \, dy_{n-4} \cdots dy_3\,dy_2\\ = {} & \cdots \\ = {} & \frac{1}{\theta^n}\exp(-y_n/\theta)\frac{(y_n-y_1)^{n-2}}{(n-2)!} \end{align}$

Thay đổi ký hiệu của cuốn sách, , chúng tôi nhận được $y=y_n, z=y_1$

g (z, y; θ) = \frac{(y - z)^{n - 2}}{θ^{n} (n - 2)!} e^{- y / θ} .

$g(z,y;\theta)=\frac{(y-z)^{n-2}}{\theta^n(n-2)!}e^{-y/\theta}.$

Điều này giải quyết vấn đề.

— Bắc sâu
nguồn

Tôi không hiểu khái niệm đi qua nhưng việc chuyển đổi từ thành có một Jacobian của một, chỉ cần áp dụng định nghĩa của một người Jacob.

X_{1} + X_{2}

$X_1+X_2$

(x_{1}, . . ., x_{n})

$(x_1,...,x_n)$

(x_{1}, x_{1} + x_{2}, \dots, x_{1} + \dots + x_{n})

$(x_1,x_1+x_2,\ldots,x_1+\ldots+x_n)$

— Tây An

@ Tây An, cảm ơn bạn. Tôi đã thử chuyển đổi nhưng vẫn không thể nhận được giải pháp mà cuốn sách đã đề xuất

Y_{1} = X_{1}, Y_{2} = X_{1} + X_{2}, . . ., Y_{n} = X_{1} + X_{2} + . . . + X_{n}

$Y_1=X_1, Y_2=X_1+X_2,..., Y_n=X_1+X_2+...+X_n$

— Deep North

Bạn gần như ở đó: Tôi đã sửa lỗi đạo hàm của mật độ khớp của bằng cách thêm các hàm chỉ báo. Điều này ngụ ý rằng các giới hạn trên các tích phân của phải là nếu bạn tích hợp trước, sau đó , sau đó ... Điều này sẽ cung cấp cho bạn phần còn thiếu.

(Y_{1}, \dots, Y_{n})

$(Y_1,\ldots,Y_n)$

y_{2}, \dots, y_{n - 1}

$y_2,\ldots,y_{n-1}$

\int_{y_{1}}^{y_{n}} \int_{y_{2}}^{y_{n}} \dots \int_{y_{n - 2}}^{y_{n}}

$\int_{y_1}^{y_n}\int_{y_2}^{y_n}\cdots\int_{y_{n-2}}^{y_n}$

y_{n - 1}

$y_{n-1}$

y - n - 2

$y-{n-2}$

(n - 2)!

$(n-2)!$

— Tây An

Đối số chuyển đổi hoạt động tốt và luôn hữu ích, nhưng bây giờ tôi sẽ đề xuất một cách khác để giải quyết vấn đề này có sự tương đồng nhất định với phương pháp bạn sẽ sử dụng nếu các biến rời rạc. Hãy nhớ rằng sự khác biệt chính là trong khi đối với một biến ngẫu nhiên rời rạc được xác định rõ cho một rv liên tục , , vì vậy chúng ta cần cẩn thận một chút. $X$ $P(X=x)$ $Y$ $P(Y=y)=0$

Đặt và chúng tôi hiện đang tìm kiếm phân phối chung $S=\sum_{i=1}^n X_i$

f_{X_{1}, S} (x_{1}, s)

$f_{X_1, S} \left(x_1, s \right)$

mà chúng ta có thể tính gần đúng với xác suất

\begin{aligned} f_{X_{1}, S} (x_{1}, s) & \approx P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}, s < S < s + Δ s] \\ \approx P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}, s - x_{1} < \sum_{i = 2}^{n} X_{i} < s - x_{1} + Δ s] \\ = P [x_{1} < X_{1} < x_{1} + Δ x_{1}] P [s - x_{1} < \sum_{i = 2}^{n} X_{i} < s - x_{1} + Δ s] \\ \approx \frac{1}{θ} \exp {- \frac{x_{1}}{θ}} \frac{{(s - x_{1})}^{n - 2} \exp {- \frac{s - x_{1}}{θ}}}{Γ (n - 1) θ^{n - 1}} \\ = \frac{{(s - x_{1})}^{n - 2}}{θ^{n} (n - 2)!} \exp {- \frac{s}{θ}} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X_1, S} \left(x_1, s \right) &\approx P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 , s<S<s+\Delta s \right] \\ &\approx P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 , s-x_1<\sum_{i=2}^n X_i<s-x_1+\Delta s \right] \\ &= P\left[ x_1 <X_1< x_1 +\Delta x_1 \right] P \left[ s-x_1<\sum_{i=2}^n X_i<s-x_1+\Delta s \right] \\ &\approx \frac{1}{\theta} \exp\left\{-\frac{x_1}{\theta}\right\} \frac{ \left(s-x_1\right)^{n-2} \exp\left\{-\frac{s-x_1}{\theta} \right\}}{\Gamma \left(n-1 \right) \theta^{n-1}} \\ &= \frac{\left(s-x_1\right)^{n-2}}{\theta^n \left(n-2\right)!} \exp\left\{-\frac{s}{\theta} \right\} \end{align}$

cho . Lưu ý rằng trong dòng thứ tư, chúng tôi đã sử dụng thuộc tính gây nghiện của phân phối gamma, trong đó số mũ là trường hợp đặc biệt. $0<x_1<s<\infty$

Nếu bạn điều chỉnh ký hiệu, chúng ta sẽ nhận được điều tương tự ở đây như trên. Phương pháp này cho phép bạn thoát khỏi sự tích hợp nhiều và đó là lý do tại sao tôi thích nó. Tuy nhiên, một lần nữa, hãy cẩn thận trong cách bạn xác định mật độ.

Hi vọng điêu nay co ich.

— JohnK
nguồn

Sửa lỗi cho tôi nếu tôi sai, nhưng tôi không nghĩ người ta cần tìm phân phối có điều kiện để tìm kỳ vọng có điều kiện cho UMVUE. Chúng ta có thể tìm thấy ý nghĩa có điều kiện bằng cách sử dụng các mối quan hệ nổi tiếng giữa các biến Beta và Gamma độc lập. Cụ thể, thực tế là nếu và là các biến thể Gamma độc lập, thì là một biến thể Gamma và nó độc lập với biến thiên Beta . $U$ $V$ $U+V$ $\frac{U}{U+V}$

Tại đây, lưu ý rằng và được phân phối độc lập. Và được phân phối độc lập với . $X_1\sim\text{Gamma}(1,\frac{1}{\theta})$ $\sum_{i=2}^nX_i\sim\text{Gamma}(n-1,\frac{1}{\theta})$ $X_1+\sum_{i=2}^nX_i\sim\text{Gamma}(n,\frac{1}{\theta})$ $\dfrac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\sim\text{Beta}(1,n-1)$

Xác định $h(X_1,\cdots,X_n)=\begin{cases}1&,\text{ if }X_1\le2\\0&,\text{ otherwise }\end{cases}$

$T=\sum_{i=1}^n X_i$ hoàn toàn đủ cho gia đình phân phối . $\{1-\exp(-\frac{x}{\theta}):\theta>0\}$

Vậy UMVUE của là theo định lý Lehmann-Scheffe. $P(X\le 2)$ $E(h\mid T)$

Chúng tôi có,

\begin{aligned} E (h ∣ T = t) & = P (X_{1} \leq 2 ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{\sum_{i = 1}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t} ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{X_{1} + \sum_{i = 2}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t} ∣ \sum_{i = 1}^{n} X_{i} = t) \\ = P (\frac{X_{1}}{X_{1} + \sum_{i = 2}^{n} X_{i}} \leq \frac{2}{t}) \\ = \int_{0}^{2 / t} \frac{(1 - x)^{n - 2}}{B (1, n - 1)} d x \\ = 1 - {(1 - \frac{2}{t})}^{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align}E(h\mid T=t)&=P(X_1\le2\mid \sum_{i=1}^n X_i=t)\\&=P\left(\frac{X_1}{\sum_{i=1}^nX_i}\le\frac{2}{t}\mid\sum_{i=1}^n X_i=t\right)\\&=P\left(\frac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\le\frac{2}{t}\mid\sum_{i=1}^n X_i=t\right)\\&=P\left(\frac{X_1}{X_1+\sum_{i=2}^nX_i}\le\frac{2}{t}\right)\\&=\int_0^{2/t}\frac{(1-x)^{n-2}}{B(1,n-1)}\,\mathrm{d}x\\&=1-\left(1-\frac{2}{t}\right)^{n-1}\end{align}$

Do đó UMVUE của phải là . $P(X\le2)$ $1-\left(1-\dfrac{2}{\sum_{i=1}^nX_i}\right)^{n-1}$

— Bướng bỉnh
nguồn

Tôi thích câu trả lời này tốt hơn.

— hyg17