Đi bộ ngẫu nhiên với đà

Xem xét bước đi ngẫu nhiên nguyên bắt đầu từ 0 với các điều kiện sau:

Bước đầu tiên là cộng hoặc trừ 1, với xác suất bằng nhau.
Mỗi bước trong tương lai là: 60% có khả năng đi cùng hướng với bước trước, 40% có khả năng ở hướng ngược lại

Những loại phân phối nào mang lại năng suất này?

Tôi biết rằng một bước đi ngẫu nhiên không động lượng mang lại một phân phối bình thường. Liệu động lượng chỉ thay đổi phương sai, hoặc thay đổi hoàn toàn bản chất của phân phối?

Tôi đang tìm kiếm một câu trả lời chung chung, vì vậy 60% và 40% ở trên, tôi thực sự có nghĩa là p và 1-p

stochastic-processes randomness random-walk

— barrycarter
nguồn

Trên thực tế, @Dilip, bạn cần một chuỗi Markov với các trạng thái được lập chỉ mục bởi các cặp theo thứ tự và , . Các chuyển đổi là và với xác suất và và với xác suất .

(i, i + 1)

$(i,i+1)$

(i, i - 1)

$(i,i-1)$

i \in Z

$i\in\mathbb{Z}$

(i, i + 1) \to (i + 1, i + 1)

$(i,i+1)\to(i+1,i+1)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i)

$(i,i-1)\to(i-1,i)$

p

$p$

(i, i + 1) \to (i + 1, i)

$(i,i+1)\to(i+1,i)$

(i, i - 1) \to (i - 1, i - 2)

$(i,i-1)\to(i-1,i-2)$

1 - p

$1-p$

— whuber

Lưu ý rằng kích thước bước tạo thành chuỗi Markov trên và bạn đã xảy ra (?!) Để bắt đầu chuỗi tại phân phối cố định.

{- 1, + 1}

$\{-1,+1\}$

— hồng y

Bạn có muốn phân phối giới hạn (cận biên) cho trong đó là các bước của bước đi không?

S_{n} = \sum_{i = 1}^{n} X_{n}

$S_n = \sum_{i=1}^n X_n$

X_{n} \in {- 1, + 1}

$X_n \in \{-1,+1\}$

— hồng y

Một cách tiếp cận khác có thể là xem xét tổng hợp xen kẽ các biến ngẫu nhiên hình học, sau đó áp dụng một số lý thuyết martingale. Vấn đề là bạn sẽ phải xác định một số loại thời gian dừng, có thể là khó khăn.

— shabbychef

Câu trả lời:

Để đi đến kết luận ngay lập tức, "động lượng" không thay đổi thực tế rằng phân phối bình thường là một xấp xỉ tiệm cận của phân phối ngẫu nhiên, nhưng phương sai thay đổi từ thành . Điều này có thể được bắt nguồn từ những cân nhắc tương đối cơ bản trong trường hợp đặc biệt này. Nói chung, không khó để khái quát hóa các đối số dưới đây thành CLT cho các chuỗi Markov không gian trạng thái hữu hạn, nhưng vấn đề lớn nhất thực sự là sự tính toán của phương sai. Đối với vấn đề cụ thể, nó có thể được tính toán và hy vọng các lập luận dưới đây có thể thuyết phục người đọc rằng đó là phương sai chính xác. $4np(1-p)$ $np/(1-p)$

Sử dụng thông tin chi tiết mà Hồng y cung cấp trong một nhận xét, bước đi ngẫu nhiên được đưa ra là trong đó và tạo thành chuỗi Markov với ma trận xác suất chuyển tiếp Đối với các cân nhắc tiệm cận khi , phân phối ban đầu của không có vai trò, vì vậy, hãy sửa vì lý do sau của đối số sau và giả sử là . Một kỹ thuật khéo léo là phân hủy chuỗi Markov thành các chu kỳ độc lập. Hãy để

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$

X_{k} \in {- 1, 1}

$X_k \in \{-1, 1\}$

X_{k}

$X_k$

(\begin{array}{cc} p & 1 - p \\ 1 - p & p \end{array}) .

$\left(\begin{array}{cc} p & 1-p \\ 1-p & p \end{array}\right).$

n \to \infty

$n \to \infty$

X_{1}

$X_1$

X_{1} = 1

$X_1 = 1$

0 < p < 1

$0 < p < 1$

σ_{1}

$\sigma_1$ biểu thị lần đầu tiên, sau lần 1, chuỗi Markov trở về 1. Nghĩa là, nếu thì và nếu và thì . Nói chung, hãy để biểu thị thời gian trả về của là 1 và hãy để biểu thị thời gian trả lại (với ). Với những định nghĩa này, chúng ta có

X_{2} = 1

$X_2 = 1$

σ_{1} = 2

$\sigma_1 = 2$

X_{2} = X_{3} = - 1

$X_2 = X_3 = -1$

X_{4} = 1

$X_4 = 1$

σ_{1} = 4

$\sigma_1 = 4$

σ_{i}

$\sigma_i$

i

$i$

τ_{i} = σ_{i} - σ_{i - 1}

$\tau_i = \sigma_i - \sigma_{i-1}$

σ_{0} = 1

$\sigma_0 = 1$

Với thì $U_i = \sum_{k = \sigma_{i-1}+1}^{\sigma_i} X_k$ $S_{σ_{n}} = X_{1} + \sum_{i = 1}^{n} U_{i} .$ $S_{\sigma_n} = X_1 + \sum_{i=1}^n U_i.$
Vì lấy giá trị cho và nên nó giữ $X_k$ $-1$ $k = \sigma_{i-1}+1, \ldots, \sigma_{i}-1$ $X_{\sigma_i} = 1$ $U_{i} = 2 - τ_{i} .$ $U_i = 2 - \tau_i.$
Thời gian trả lại, , cho chuỗi Markov là iid (chính thức do thuộc tính Markov mạnh) và trong trường hợp này có nghĩa là và phương sai . Nó được chỉ định làm thế nào để tính giá trị trung bình và phương sai dưới đây. $\tau_i$ $E(\tau_i) = 2$ $V(\tau_i) = 2\frac{p}{1-p}$
CLT thông thường cho các biến iid mang lại $S_{σ_{n}} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{2 n p}{1 - p}) .$ $S_{\sigma_n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{2np}{1-p}\right).$
Điều cuối cùng cần lưu ý, đòi hỏi một bước nhảy đức tin nhỏ, bởi vì tôi bỏ qua các chi tiết, đó là , mang lại $\sigma_n = 1 + \sum_{i=1}^n \tau_i \sim 2n$ $S_{n} \overset{asymp}{\sim} N (0, \frac{n p}{1 - p}) .$ $S_{n} \overset{\text{asymp}}{\sim} N\left(0, \frac{np}{1-p}\right).$

Để tính toán các khoảnh khắc của người ta có thể lưu ý rằng và với , . Sau đó, các kỹ thuật tương tự như các kỹ thuật được sử dụng khi tính toán các khoảnh khắc cho phân phối hình học có thể được áp dụng. Ngoài ra, nếu là hình học với xác suất thành công và thì có cùng phân phối với và rất dễ tính toán giá trị trung bình và phương sai cho đại diện sau này. $\tau_1$ $P(\tau_1 = 1) = p$ $m \geq 2$ $P(\tau_1 = m) = (1-p)^2p^{m-2}$ $X$ $1-p$ $Z = 1(\tau_1 = 1)$ $1 + X(1-Z)$ $\tau_1$

— NRH
nguồn

+1 đẹp. Tôi sẽ chỉ có phân phối giả định bằng văn bản cho , để cho thấy rõ rằng CLT áp dụng theo cách thông thường. Nhưng đó chỉ là vấn đề của hương vị.

1 / \sqrt{n} S_{n}

$1/\sqrt{n}S_n$

— mpiktas

'Rule of Thumb' 8.7 của Van Belle (từ phiên bản thứ hai của cuốn sách của anh ta ) bao gồm một xấp xỉ cho lỗi tiêu chuẩn của giá trị trung bình khi các đổi mới có tự động tương quan . Dịch điều này bằng cách sử dụng sẽ cho trong đó là vị trí của bước đi ngẫu nhiên sau bước và là độ lệch chuẩn mẫu (sẽ là, không có triệu chứng trong , . Kết quả cuối cùng mà tôi mong đợi, như một xấp xỉ thô, rằng độ lệch chuẩn của sẽ ở xung quanh $\rho$ $\rho = 2p - 1$

True standard error of \bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1 - p}} \frac{s}{\sqrt{n}},

$\mbox{True standard error of }\bar{x} \approx \sqrt{\frac{p}{1-p}}\frac{s}{\sqrt{n}},$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

n

$n$

s

$s$

n

$n$

\sqrt{1 - {\bar{x}}^{2}}

$\sqrt{1 - \bar{x}^2}$

n \bar{x}

$n \bar{x}$

\sqrt{n p / (1 - p)}

$\sqrt{n p/(1-p)}$ .

chỉnh sửa : Tôi đã tự động sai (hoặc đúng hơn là nên được giải thích khác nhau); bây giờ là nhất quán (tôi hy vọng!) $p$

— shabbychef
nguồn

Hấp dẫn. Tôi không chắc chắn rằng mang lại bất cứ điều gì rất hợp lý cho trường hợp con ; mặc dù, đó có thể là do các bệnh lý liên quan đến trường hợp đó.

p = 0

$p=0$

— hồng y

@cardinal bắt tốt, tự động tương quan phải là không phải . sửa nó ...

ρ = 2 p - 1,

$\rho = 2p - 1,$

1 - 2 p

$1 - 2p$

— shabbychef