Xấp xỉ

Tôi tình cờ đọc được một bài báo (về kinh tế) có xấp xỉ sau cho : $\log(E(X))$

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5 \mathrm{var}(\log(X))$ ,

mà tác giả nói là chính xác nếu X là log-normal (mà tôi biết).

Những gì tôi không biết là làm thế nào để lấy được xấp xỉ này. Tôi đã thử tính xấp xỉ Taylor thứ hai và tất cả những gì tôi nghĩ ra là biểu thức này:

$\log(E(X)) \approx E(\log(X))+0.5\frac{\mathrm{var}(X)}{E(X)^2}$

lognormal approximation taylor-series

— Daniel
nguồn

Theo phương pháp Delta , phương sai của hàm RV xấp xỉ bằng phương sai của RV nhân với đạo hàm bình phương được đánh giá ở mức trung bình. Vì thế

v a r (\log (X)) \approx \frac{1}{{[E (X)]}^{2}} v a r (X)

$\mathrm{var}(\log(X)) \approx \frac{1}{ \left[E(X)\right] ^2 } \mathrm{var}(X)$

Và bạn có nó rồi đấy. Tất nhiên phái sinh của bạn là đúng.

— JohnK
nguồn