Định lý Bayes với nhiều điều kiện

Tôi không hiểu làm thế nào phương trình này được bắt nguồn.

$P(I|M_{1}\cap M_{2}) \leq \frac{P(I)}{P(I')}\cdot \frac{P(M_{1}|I)P(M_{2}|I)}{P(M_{1}|I')P(M_{2}|I')}$

Phương trình này được lấy từ bài báo "Thử nghiệm theo Xác suất" trong đó trường hợp của OJ Simpson được đưa ra như một vấn đề mẫu. Bị cáo đang bị xét xử vì tội giết người kép và hai bằng chứng được đưa ra để chống lại anh ta.

$M_{1}$ là sự kiện máu của bị cáo khớp với giọt máu tìm thấy trong hiện trường vụ án. $M_{2}$ là sự kiện máu của nạn nhân trùng với máu trên một chiếc tất thuộc về bị đơn. Giả sử tội lỗi, sự xuất hiện của một bằng chứng làm tăng xác suất của bằng chứng khác. $I$ là sự kiện một bị cáo vô tội trong khi $I'$ là khi anh ta phạm tội.

Chúng tôi đang cố gắng để có được sự xác thực về khả năng bị cáo vô tội với hai bằng chứng.

Giá trị cho một số biến đã được đưa ra nhưng điều tôi quan tâm là phương trình được dẫn xuất như thế nào. Tôi đã cố gắng nhưng không có nơi nào.

Có, tôi đã kiểm tra 'Câu hỏi có thể đã có câu trả lời của bạn'.

bayesian conditional-probability bayes

— Sakurabe
nguồn

Ý nghĩa của

I^{'}

$I^\prime$ gì? Có phải

I^{c}

$I^\text{c}$ ?

— Tây An

@ Xi'an vâng

I^{'}

$I'$ là

I^{c}

$I^{c}$ trong một ký hiệu khác

— Sakurabe

Theo định lý của Bayes:

\begin{aligned} P (Tôi | M_{1} \cap M_{2}) & = = \frac{P (Tôi) P (M_{1} \cap M_{2} | Tôi)}{P (M_{1} \cap M_{2})} \\ = = \frac{P (Tôi) P (M_{1} \cap M_{2} | Tôi)}{P (Tôi) P (M_{1} \cap M_{2} | Tôi) + P ({Tôi}^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} | {Tôi}^{'})} . \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(M_1\cap M_2)}\\&=\frac{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}.\end{align*}$ Bây giờ, bài báo bạn cung cấp lập luận rằng

Nếu đúng thì và là độc lập. Nhưng giả sử tội lỗi, sự xuất hiện của người này sẽ làm tăng xác suất của người kia. $I$ $M_1$ $M_2$

Vậy và Do đó,

\begin{matrix} (1) & P (M_{1} \cap M_{2} | Tôi) = = P (M_{1} | Tôi) P (M_{2} | Tôi), \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I)=P(M_1\mid I)P(M_2\mid I),\label{eq1}\tag{1}$

\begin{matrix} (2) & P (M_{1} \cap M_{2} | {Tôi}^{'}) = = P (M_{1} | M_{2} \cap {Tôi}^{'}) P (M_{2} | {Tôi}^{'}) \geq P (M_{1} | {Tôi}^{'}) P (M_{2} | {Tôi}^{'}) . \end{matrix}

$P(M_1\cap M_2\mid I')=P(M_1\mid M_2\cap I')P(M_2\mid I')\geq P(M_1\mid I')P(M_2\mid I').\label{eq2}\tag{2}$

\begin{aligned} P (Tôi | M_{1} \cap M_{2}) & = = \frac{P (Tôi) P (M_{1} | Tôi) P (M_{2} | Tôi)}{P (Tôi) P (M_{1} \cap M_{2} | Tôi) + P ({Tôi}^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} | {Tôi}^{'})} & (Thay thế bằng (1)) \\ \leq \frac{P (Tôi) P (M_{1} | Tôi) P (M_{2} | Tôi)}{P ({Tôi}^{'}) P (M_{1} \cap M_{2} | {Tôi}^{'})} & (Mẫu số nhỏ hơn) \\ \leq \frac{P (Tôi)}{P ({Tôi}^{'})} \cdot \frac{P (M_{1} | Tôi) P (M_{2} | Tôi)}{P (M_{1} | {Tôi}^{'}) P (M_{2} | {Tôi}^{'})} . & (Thay thế bằng (2)) \end{aligned}

$\begin{align*}P(I\mid M_1\cap M_2)&=\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I)P(M_1\cap M_2\mid I)+P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Substitute with \eqref{eq1})}\\&\leq\frac{P(I)P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(I')P(M_1\cap M_2\mid I')}&& \text{(Lesser Denominator)}\\&\leq\frac{P(I)}{P(I')}\cdot\frac{P(M_1\mid I)P(M_2\mid I)}{P(M_1\mid I')P(M_2\mid I')}.&& \text{(Substitute with \eqref{eq2})} \end{align*}$

Để lấy được , hãy lưu ý và vì sự xuất hiện của sẽ tăng xác suất của : $\eqref{eq2}$

\begin{aligned} \frac{P (M_{1} \cap M_{2} | {Tôi}^{'})}{P (M_{2} | {Tôi}^{'})} & = = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap {Tôi}^{'}) / P ({Tôi}^{'})}{P (M_{2} \cap {Tôi}^{'}) / P ({Tôi}^{'})} \\ = = \frac{P (M_{1} \cap M_{2} \cap {Tôi}^{'})}{P (M_{2} \cap {Tôi}^{'})} \\ = = P (M_{1} | M_{2} \cap {Tôi}^{'}) \end{aligned}

$\begin{align*}\frac{P(M_1\cap M_2\mid I')}{P(M_2\mid I')}&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')/P(I')}{P(M_2\cap I')/P(I')}\\&=\frac{P(M_1\cap M_2\cap I')}{P(M_2\cap I')}\\&=P(M_1\mid M_2\cap I')\end{align*}$

M_{2}

$M_2$

M_{1}

$M_1$

P (M_{1} | M_{2} \cap {Tôi}^{'}) \geq P (M_{1} | {Tôi}^{'})

$P(M_1\mid M_2\cap I')\geq P(M_1\mid I')$

— Đức Phanxicô
nguồn

Trước tiên tôi muốn cảm ơn bạn đã dành thời gian để giúp đỡ. Nhưng tôi vẫn hơi bối rối. Bạn có thể vui lòng thêm số phương trình và cho biết nơi bạn áp dụng các phương trình trước đó trong các thay thế sau này? Mọi thứ đang bắt đầu có ý nghĩa nhưng tôi vẫn không nhận được sự bất bình đẳng sau 'và', và phần mà bạn thay thế trong mẫu số và toàn bộ điều này trở thành bất bình đẳng. Tôi đoán một lời giải thích về cách lập luận được trích dẫn từ bài báo được dịch theo toán học sẽ giúp ích. Cảm ơn một lần nữa!

— Sakurabe

@Sakurabe: tốt hơn?

— Phanxicô

Được rồi, bây giờ tôi đã làm thế nào các bằng chứng củng cố lẫn nhau. Câu hỏi cuối cùng, chúng ta vừa bỏ từ mẫu số? Như trong thả mà không có một định lý hay bất cứ điều gì? Ý tôi là, nó có ý nghĩa gì đó vì nó sẽ không đảo ngược sự bất bình đẳng dẫn đến từ (2) cộng với đó cũng là điều tôi cho rằng họ đã làm trong một ví dụ trước đó trong bài báo chỉ liên quan đến một bằng chứng DNA (với +1 trong mẫu số ). Cảm ơn, tôi thực sự đánh giá cao sự giúp đỡ của bạn.

P (I) P (M_{1} \cap M_{2} | I)

$P(I)P(M_{1}\cap M_{2}|I)$

— Sakurabe

@Sakurabe: Có, vì thuật ngữ đó không âm, nên việc bỏ nó sẽ làm giảm mẫu số.

— Phanxicô