Tổng các hệ số của phân phối đa thức

$\newcommand{\P}{\mathbb{P}}$ Tôi đang ném một cái chết công bằng. Bất cứ khi nào tôi nhận được 1, 2 hoặc 3, tôi viết ra '1'; Bất cứ khi nào tôi nhận được 4, tôi viết ra '2'; Bất cứ khi nào tôi nhận được 5 hoặc 6, tôi viết ra '3.'

Đặt $N$ là tổng số lần ném tôi cần cho sản phẩm của tất cả các số tôi đã viết là $\geq 100000$ . Tôi muốn tính toán (hoặc gần đúng) $\P(N\geq 25)$ và một phép tính gần đúng có thể được đưa ra như là một hàm của phân phối chuẩn.

Đầu tiên, tôi biết rằng $\P(N\geq 11) = 1$ vì $\log_3 100.000 \approx 10.48$ . Bây giờ, hãy để $a$ , $b$ và $c$ lần lượt là số lần tôi viết xuống 1, 2 và 3. Sau đó:

P (a, b, c ∣ n) = {\begin{cases} (\binom{n}{a, b, c}) {(\frac{1}{2})}^{a} {(\frac{1}{6})}^{b} {(\frac{1}{3})}^{c} & if a + b + c = n \\ 0 & otherwise \end{cases}

$\P(a,b,c\mid n) = \begin{cases}\displaystyle\binom {n}{a, b, c} \left(\frac 1 2\right) ^ a \left(\frac 1 6\right)^b\left(\frac 1 3\right)^c &\text{ if } a + b + c = n \\ 0 &\text{ otherwise}\end{cases}$

Những gì tôi muốn tính toán là:

P (a + b + c \geq 25 ∣ 2^{b} 3^{c} \geq 100000)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid 2^b3^c\geq 100000)$

Làm thế nào để tôi tính toán này?

--BIÊN TẬP:

Vì vậy, nó đã được đề xuất rằng tôi có thể thay thế điều kiện bằng:

P (a + b + c \geq 25 ∣ α a + β b + γ c \geq δ)

$\P(a + b + c \geq 25 \mid \alpha a + \beta b + \gamma c \geq \delta)$

trong đó , , và . $\alpha = 0$ $\beta = \log 2$ $\gamma = \log 3$ $\delta = \log 100000$

Điều này có vẻ khả thi hơn! Tôi không may vẫn không biết làm thế nào để giải quyết nó.

— Pedro Carvalho
nguồn

+1 Vấn đề này có thể trông quen thuộc hơn một chút và cho vay rõ ràng hơn với các giải pháp gần đúng, nếu bạn phải viết điều kiện ở dạng trong đó và .

α a + β b + γ c \geq δ

$\alpha a + \beta b + \gamma c \ge \delta$

α = 0, β = \log (2), γ = \log (3),

$\alpha=0, \beta=\log(2), \gamma=\log(3),$

δ = \log (100000)

$\delta=\log(100000)$

— whuber

Tôi đã thêm cách mới này để viết điều kiện, nhưng tôi không may vẫn không có manh mối rõ ràng nhất về cách giải quyết vấn đề này!

— Pedro Carvalho

Một gợi ý khác là nếu có lần xuất hiện '2' thì bạn sẽ dừng lại. Vì vậy, bạn có thể ước chừng điều này với một nhị thức âm với các tham số và (cũng với và ). Câu trả lời chính xác cũng có thể quản lý được vì không có nhiều kết hợp. Ngoài ra, điều kiện không chính xác - bạn cần bao gồm '2' hoặc '3' đã được ghi vào cuộn thứ

17

$17$

17

$17$

0.5

$0.5$

11

$11$

1 / 3

$1/3$

N

$N$

— xác suất

Câu trả lời:

Câu hỏi hiện tại là một trường hợp cụ thể trong đó bạn đang xử lý một đại lượng là hàm tuyến tính của biến ngẫu nhiên đa cực. Có thể giải quyết vấn đề của bạn một cách chính xác, bằng cách liệt kê các kết hợp đa phương thức thỏa mãn bất đẳng thức cần thiết và tổng hợp phân phối trên phạm vi đó. Trong trường hợp lớn, điều này có thể trở nên không thể tính toán được. Trong trường hợp này, có thể có được một phân phối gần đúng bằng cách sử dụng xấp xỉ bình thường cho đa thức. Một phiên bản tổng quát của phép tính gần đúng này được hiển thị bên dưới, và sau đó điều này được áp dụng cho ví dụ cụ thể của bạn. $N$

Bài toán gần đúng chung: Giả sử chúng ta có một chuỗi các biến ngẫu nhiên có thể trao đổi với phạm vi . Đối với mọi chúng ta có thể tạo thành vectơ đếm , đếm số sự xuất hiện của từng kết quả trong giá trị đầu tiên của chuỗi. Vì chuỗi bên dưới có thể trao đổi, vectơ đếm được phân phối là: $1, 2, ..., m$ $n \in \mathbb{N}$ $\boldsymbol{X} \equiv \boldsymbol{X} (n) \equiv (X_1, X_2, ..., X_m)$ $n$

\begin{array}{ll} X ~ Mu (n, θ) & θ = lim_{n \to \infty} X (n) / n . \end{array}

$\begin{array} \boldsymbol{X} \text{ ~ Mu}(n, \boldsymbol{\theta}) & & \boldsymbol{\theta} = \lim_{n \rightarrow \infty} \boldsymbol{X}(n)/n. \end{array}$

Bây giờ, giả sử chúng ta có một số vectơ có trọng số không âm và chúng tôi sử dụng các trọng số này để xác định hàm tuyến tính: $\boldsymbol{w} = (w_1, w_2, ..., w_m)$

A (n) \equiv \sum_{i = 1}^{m} w_{i} X_{i} .

$A(n) \equiv \sum_{i=1}^m w_i X_i.$

Vì các trọng số là không âm, nên đại lượng mới này không giảm trong . Sau đó, chúng tôi xác định số , là số lượng quan sát nhỏ nhất cần có để có được giá trị tối thiểu được chỉ định cho hàm tuyến tính của chúng tôi. Chúng tôi muốn ước tính phân phối trong trường hợp giá trị này lớn (ngẫu nhiên). $n$ $N(a) \equiv \min \{ n \in \mathbb{N} | A(n) \geqslant a \}$ $N(a)$

Giải bài toán gần đúng chung: Thứ nhất, chúng tôi lưu ý rằng vì không giảm trong (giữ vì chúng tôi đã giả sử rằng tất cả các trọng số đều không âm), chúng tôi có: $A(n)$ $n$

P (N (a) ⩾ n) = P (N (a) > n - 1) = P (A (n - 1) < a) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (N(a) > n - 1) = \mathbb{P} (A(n-1) < a).$

Do đó, sự phân bố của có liên quan trực tiếp đến sự phân bố của . Giả sử rằng số lượng trước là lớn, chúng ta có thể xấp xỉ phân phối của số sau bằng cách thay thế vectơ ngẫu nhiên rời rạc bằng một xấp xỉ liên tục từ phân phối chuẩn nhiều biến số. Điều này dẫn đến một xấp xỉ bình thường cho định lượng tuyến tính và chúng ta có thể tính trực tiếp các khoảnh khắc của đại lượng này. Để làm điều này, chúng tôi sử dụng thực tế là , và cho . Với một số đại số cơ bản, điều này mang lại cho chúng ta: $N$ $A$ $\boldsymbol{X}$ $A(n)$ $\mathbb{E}(X_i) = n \theta_i$ $\mathbb{V}(X_i) = n \theta_i (1 - \theta_i)$ $\mathbb{C}(X_i, X_j) = -n \theta_i \theta_j$ $i \neq j$

μ \equiv E (\frac{1}{n} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i},

$\mu \equiv \mathbb{E}\left(\frac{1}{n} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i,$

σ^{2} \equiv V (\frac{1}{\sqrt{n}} A (n)) = \sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i} - {(\sum_{i = 1}^{m} w_{i} θ_{i})}^{2} = μ (1 - μ) .

$\sigma^2 \equiv \mathbb{V}\left(\frac{1}{\sqrt{n}} A(n)\right) = \sum_{i=1}^m w_i \theta_i - \left(\sum_{i=1}^m w_i \theta_i\right)^2 = \mu (1 - \mu).$

Bây giờ, việc lấy xấp xỉ bình thường cho đa thức cho chúng ta phân phối gần đúng . Áp dụng năng suất gần đúng này: $A(n) \text{ ~ N} (n \mu, n \mu (1 - \mu))$

P (N (a) ⩾ n) = P (A (n - 1) < a) \approx Φ (\frac{a - (n - 1) μ}{\sqrt{(n - 1) μ (1 - μ)}}) .

$\mathbb{P} (N(a) \geqslant n) = \mathbb{P} (A(n-1) < a) \approx \Phi \left(\frac{a - (n-1) \mu}{\sqrt{(n-1) \mu (1 - \mu)}}\right).$

(Ký hiệu là ký hiệu chuẩn cho hàm phân phối chuẩn thông thường.) Có thể áp dụng phép tính gần đúng này để tìm xác suất liên quan đến đại lượng cho giá trị xác định của . Đây là một xấp xỉ cơ bản chưa cố gắng kết hợp hiệu chỉnh liên tục trên các giá trị của các giá trị đếm đa phương thức cơ bản. Nó có được bằng cách lấy một xấp xỉ bình thường bằng cách sử dụng hai khoảnh khắc trung tâm đầu tiên giống như hàm tuyến tính chính xác. $\Phi$ $N(a)$ $a$

Áp dụng cho vấn đề của bạn: Trong vấn đề của bạn, bạn có xác suất , trọng số và giá trị giới hạn . Do đó, bạn có (làm tròn đến sáu điểm thập phân) . Áp dụng xấp xỉ trên mà chúng ta có (làm tròn đến sáu điểm thập phân): $\boldsymbol{\theta} = (\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{6}, \tfrac{1}{3})$ $\boldsymbol{w} = (0, \ln 2, \ln 3)$ $a = \ln 100000$ $\mu = \tfrac{1}{6}\ln 2 + \tfrac{1}{3}\ln 3 = 0.481729$

P (N (a) ⩾ 25) \approx Φ (\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}) = Φ (- 0.019838) = 0.492086.

$\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) \approx \Phi \left(\frac{\ln 100000 - 24 \cdot 0.481729}{\sqrt{24} \cdot 0.499666}\right) =\Phi (-0.019838) = 0.492086.$

Bằng cách áp dụng phân phối đa thức chính xác, tổng hợp tất cả các kết hợp thỏa mãn yêu cầu , có thể thấy rằng kết quả chính xác là . Do đó, chúng ta có thể thấy rằng phép tính gần đúng khá gần với câu trả lời chính xác trong trường hợp hiện tại. $\mathbb{P}(A(24) < a)$ $\mathbb{P}(N(a) \geqslant 25) = 0.483500$

Hy vọng câu trả lời này cung cấp cho bạn câu trả lời cho câu hỏi cụ thể của bạn, đồng thời đặt nó trong khuôn khổ tổng quát hơn về kết quả xác suất áp dụng cho các hàm tuyến tính của vectơ ngẫu nhiên đa phương. Phương pháp hiện tại sẽ cho phép bạn có được các giải pháp gần đúng cho các vấn đề thuộc loại chung mà bạn đang gặp phải, cho phép thay đổi số lượng cụ thể trong ví dụ của bạn.

— Ben - Phục hồi Monica
nguồn

Hãy làm một xấp xỉ bình thường.

Đầu tiên, hãy viết lại hoàn toàn vấn đề của bạn trong nhật ký. Bạn bắt đầu từ 0 tại thời điểm t = 0. Sau đó, tại mỗi bước thời gian, bạn thêm:

0 với xác suất 1/2
$\log(2)$ với xác suất 1/6
$\log(3)$ với xác suất 1/3

Bạn dừng quá trình này khi tổng của bạn vượt quá tại điểm bạn nhìn vào số lần ném bạn đã thực hiện. Số lần ném bạn phải đạt đến điểm đó là ^ $\log(10^5)$ $N$

Máy tính của tôi cho tôi biết giá trị trung bình của số gia của bạn là: và phương sai là . Để tham khảo, điểm kết thúc là vì vậy chúng tôi sẽ tiếp cận anh ta sau khoảng 24 bước $\approx 0.48$ $\approx 0.25$ $\approx 11.51$

Có điều kiện trên thực tế là chúng tôi đã thực hiện 25 bước, phân phối tổng gần như là một Gaussian tập trung tại 12.0 và với phương sai 6.25. Điều này cho chúng ta một xấp xỉ Gaussian xấp xỉ $p(N\geq25)\approx 0.5$

Bạn cần xem xét các tích lũy của tổng tại N = 25 để biết phép tính xấp xỉ Gaussian có ổn hay không. Cho rằng số gia không đối xứng, khoảng có thể không phải là tốt nhất

— Guillaume Dehaene
nguồn

Bạn có thể hoàn thành đạo hàm cho tôi? Tôi đang gặp khó khăn khi nhìn thấy nó. Ngoài ra, không có cách chính xác để tính toán nó?

— Pedro Carvalho

Bạn không có nghĩa là "log (2)" và "log (3)" nơi bạn có log (1) và log (2)?

— Glen_b -Reinstate Monica

@GuillaumeDehaene đã viết: .... Theo tính toán của tôi, theo hai cách khác nhau, , rất khác với 0,5

p (N \geq 25) \approx 0.5

$p(N\geq25)\approx 0.5$

P (N \geq 25) = 1 - P (N \leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266

$P(N\geq25) = 1 - P(N\leq 24) = 1 - \frac{1127291856633071}{6499837226778624} \approx 0.8266$

— sói

Làm thế nào để bạn có được P (n \ leq24) \ khoảng 0,18?

— Guillaume Dehaene