Tôi đã cố gắng để hiểu Định lý Cox và các vấn đề xung quanh nó. Có quá nhiều thông tin về chủ đề này đến nỗi tôi đã bối rối về trạng thái chính xác của định lý. Tôi đã tập hợp có ba vấn đề chính, nhưng vì chúng bao gồm nhiều chủ đề khác nhau nên tôi đã chia nó thành nhiều câu hỏi. Tôi hy vọng điều này là đủ thu hẹp ( câu hỏi ban đầu ).
Tài liệu tham khảo chính của tôi là K. Van Horn, Hướng dẫn về Định lý Cox, 2003 và A. Terenin & D. Draper, Rigorizing và mở rộng dẫn xuất xác suất Cox-Jaynes, 2015 .
Sau đó không cần phải quảng cáo thêm:
Halpern (Một ví dụ về các định lý của Cox và Fine, 1999; Xem xét lại Định lý của Cox, 1999) đã tuyên bố đã xây dựng một ví dụ cho Định lý Cox. Snow (Tính hợp lý của khả năng theo quan điểm của Cox, 2001) không đồng ý, nói rằng Cox đã ngầm đưa ra một giả định phủ nhận mẫu phản. Paris (Người bạn đồng hành không chắc chắn, 1994) dường như chính thức hóa giả định này, nhưng hậu quả là hàm xác suất Cox - Jaynes không thể có miền hữu hạn.
Halpern xem xét vấn đề này, vì nó có thể không tự nhiên để quy định một không gian đề xuất vô hạn. Snow và Van Horn mỗi người có lý lẽ riêng chống lại sự phản đối của Halpern. Van Horn (Hướng dẫn về Định lý Cox, 2003, tr.12-13) nhận xét rằng ngay cả khi chúng ta giới hạn bản thân trong một số mệnh đề hữu hạn , vẫn có thể có vô số giá trị hợp lý nếu chúng ta không ' t giới hạn bản thân ở một số lượng hữu hạn các trạng thái thông tin cho miền đó. Snow (Về tính đúng đắn và hợp lý của Định lý Cox cho các miền hữu hạn, 1998, phần 4) đưa ra các ví dụ về các tình huống trong đó một miền vô hạn được yêu cầu để đưa ra câu trả lời hợp lý.
Terenin & Draper (Rigorizing and Extending the Cox-Jaynes Derivation of Xác suất, 2015, tr.8) khẳng định cách tiếp cận của Van Horn rất khó để đánh giá chính thức vì nó thiếu sự nghiêm ngặt. Tuy nhiên, họ nhận xét rằng:
Jaynes (2003) đưa ra một sự khác biệt quan trọng giữa các biểu hiện thông tin mang tính bản thể (ví dụ: '' có tiếng ồn trong phòng ") mô tả thế giới như hiện tại và những người mang tính nhận thức luận (ví dụ: '' căn phòng ồn ào") mô tả thông tin của bạn về thế giới. Không có mâu thuẫn khi giả định một số hữu hạn các quốc gia thế giới (bản thể học), điều này chắc chắn đúng trong một số vấn đề, và sử dụng vô số các mệnh đề vô hạn để mô tả sự không chắc chắn của bạn về các trạng thái thế giới đó (nhận thức luận); thứ hai là một lựa chọn mô hình mà chúng tôi (và nhiều nhà thống kê Bayes khác) và cực kỳ hữu ích.
Có vẻ như trên tinh thần đồng ý với Van Horn, nếu tôi diễn giải mọi thứ chính xác.
Tôi chưa thấy ai nhận lỗi tại vị trí của Snow, mặc dù Jaynes (2003) lưu ý:
Điều rất quan trọng cần lưu ý là các Định lý nhất quán của chúng tôi chỉ được thiết lập cho các xác suất được chỉ định trên các tập hợp hữu hạn của các mệnh đề. Về nguyên tắc, mọi vấn đề phải bắt đầu với xác suất đặt hữu hạn như vậy; mở rộng cho [bộ đếm vô hạn] chỉ được phép khi đây là kết quả của quá trình giới hạn được xác định rõ ràng và được xử lý tốt từ một bộ hữu hạn.
Điều mà tôi không chắc là mâu thuẫn với Snow, nhưng ít nhất một lần nữa lại đặt câu hỏi về tính tự nhiên của các miền vô hạn.
S. Arnborg và G. Sjödin (Quy tắc Bayes trong các mô hình hữu hạn, 2000) cho thấy giả định của Paris là không cần thiết để biện minh cho định lý. Họ thay thế giả định của ông bằng những giả định yếu hơn và chứng minh Định lý Cox cho các miền hữu hạn. Tuy nhiên, phương pháp của họ không hoạt động đối với các miền vô hạn, điều này có vẻ hơi có vấn đề khi xem xét tuyên bố của Snow rằng tính vô hạn của miền là tự nhiên.
Cuối cùng, Terenin và Draper tuyên bố chính thức hóa Cox-Jaynes cho các miền vô hạn vô hạn (2015, tr.7), mặc dù tôi không chắc liệu điều này có nghĩa là các đề xuất vô hạn hay chỉ là sự hợp lý vô hạn (theo nghĩa trạng thái thông tin của Van Horn, ý thức nhận thức luận của Jaynes, và / hoặc ý nghĩa kết quả hợp lý của Snow).
Nói tóm lại, dường như có rất nhiều bất đồng ở đây. Có thể là tôi đang diễn giải sai, mặc dù vậy, tôi muốn một người hiểu biết hơn để xác nhận.
Tóm tắt:
Có một sự đồng thuận nào về tính hữu hạn - / (un) vô hạn của các lĩnh vực trong phương pháp Cox-Jaynes không?
Nếu không, vấn đề chính xác là gì?