Bất bình đẳng một chiều của Ch Quashev cho thời điểm cao hơn

Có sự tương đồng với thời điểm cao hơn bất bình đẳng của Ch Quashev trong trường hợp một phía không?

Bất đẳng thức Ch Quashev-Cantelli dường như chỉ có tác dụng đối với phương sai, trong khi bất đẳng thức của Ch Quashev có thể dễ dàng được tạo ra cho tất cả các số mũ.

Có ai biết bất bình đẳng một phía bằng cách sử dụng những khoảnh khắc cao hơn không?

approximation moments probability-inequalities

— Andreas Mueller
nguồn

Để thuận tiện, hãy để biểu thị một biến ngẫu nhiên có nghĩa trung bình liên tục bằng 0 với hàm mật độ và xem xét trong đó . Chúng tôi có $X$ $f(x)$ $P\{X \geq a\}$ $a > 0$ trong đó . Nếu làsố nguyênchẵnvà bất kỳ số thực dương nào thì

P {X \geq một} = = \int_{một}^{\infty} f (x) d x = = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f (x) d x = = E [g (X)]

$P\{X \geq a\} = \int_a^{\infty}f(x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)]$

g (x) = 1_{[a, \infty)}

$g(x) = \mathbf 1_{[a,\infty)}$

n

$n$

b

$b$

h (x) = = {(\frac{x + b}{một + b})}^{n} \geq g (x), - \infty < x < \infty,

$h(x) = \left(\frac{x+b}{a+b}\right)^n \geq g(x), -\infty < x < \infty,$

Vì vậy chúng tôi có mà cho tất cả các số thực dương

và

E [h (X)] = = \int_{- \infty}^{\infty} h (x) f (x) d x \geq \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f (x) d x = = E [g (X)] .

$E[h(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} h(x)f(x)\,\mathrm dx \geq \int_{-\infty}^{\infty}g(x)f(x)\,\mathrm dx = E[g(X)].$

a

$a$

b

$b$

\begin{matrix} (1) & P {X \geq một} \leq E [{(\frac{X + b}{một + b})}^{n}] = = (một + b)^{- n} E [(X + b)^{n}] \end{matrix}

$P\{X \geq a\} \leq E\left[\left(\frac{X+b}{a+b}\right)^n\right] = (a+b)^{-n}E[(X+b)^n]\tag{1}$

(1)

$(1)$

n

$n$

n

$n$

X

$X$

- b

$-b$

n = 2

$n = 2$

P {X \geq a}

$P\{X \geq a\}$

b = σ^{2} / a

$b = \sigma^2/a$

P {X \geq a} \leq \frac{σ^{2}}{a^{2} + σ^{2}} .

$P\{X \geq a\} \leq \frac{\sigma^2}{a^2 + \sigma^2}.$

n

$n$

b

$b$

— Dilip Sarwate
nguồn