Phân phối cho thời gian trước khi K thành công xảy ra trong N thử nghiệm là gì?

Phân phối cho thời gian trước khi K thành công xảy ra trong N thử nghiệm là gì?

Giả sử có một trung tâm điện thoại và N người, mỗi người sẽ gọi cho trung tâm điện thoại đúng lúc T với xác suất p không gọi cho trung tâm điện thoại với xác suất (1 - p). Mọi người chỉ có thể gọi một lần. Thời gian dự kiến ​​trước khi người K gọi là gì? T được phân phối như một biến số mũ ngẫu nhiên.

Tôi đang giải quyết tính toán này trong R bằng cách vẽ N quan sát từ T, loại bỏ các mẫu có xác suất (1 - p), sắp xếp các quan sát còn lại và chọn ra các quan sát thứ K.

Có cách nào phổ biến để làm điều đó phân tích?

Giả sử là iid với phân bố hàm mũ đơn vị với mật độ . (Bạn có thể điều chỉnh kết quả cho một số tỷ lệ khác). Nhưng, mỗi (thời gian chờ trước khi gọi điện thoại cho anh ấy) sẽ chỉ được thực hiện với một số xác suất và với xác suất cuộc gọi không được thực hiện và chúng tôi không quan sát thấy đó . Số lượng cuộc gọi thực hiện có phân phối nhị thức . Vì vậy, hãy sắp xếp lại các biến để các cuộc gọi nhận ra (có điều kiện trên ) là . Sau đó, giả sử rằng$X_1,X_2,\dotsc,X_N$$f(x) = e^{-x}, x\ge 0$$X_i$$i$$p$$1-p$$X_i$$r$$\text{bin}(N,p)$$r$$X_1,\dotsc,X_r$$K\le r$ , bạn đã yêu cầu phân phối thống kê đơn hàng . Bây giờ, lý thuyết về thống kê đơn hàng theo cấp số nhân đặc biệt đơn giản, vì vậy, sử dụng kết quả được lấy từ cuốn sách: Barry Arnold: "Khóa học đầu tiên về thống kê đơn hàng", mà tôi sẽ không làm lại ở đây (nhưng bằng chứng thực sự đơn giản, và có thể được tìm thấy tại đây: /math/80475/order-statistic-of-iid-exponively-distribution-sample ), chuyển đổi số liệu thống kê đơn hàng thành các khoảng cách theo cấp số nhân, được đưa ra bởi Sau đó, kết quả đơn giản và đáng ngạc nhiên là các biến là đơn vị phân phối theo cấp số nhân.$X_{K:r}$

Theo một số đại số, chúng ta nhận được rằng có cùng phân phối với , nghĩa là, một tổ hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên theo hàm mũ độc lập. Nếu tất cả các hệ số trong tổ hợp tuyến tính đều bằng nhau, đây sẽ là phân phối gamma. Bây giờ, đó là một bản phân phối phức tạp hơn đã được nghiên cứu trong http://www.tandfonline.com/doi/abs/10.1080/03610928308828483?journalCode=lsta20 , ví dụ.$X_{K:r}$$\sum_{i=1}^K \frac1{r-i+1} Z_i$

Bây giờ, bạn cần phải quyết định những gì bạn muốn làm trong trường hợp . Chặn vấn đề đó, điều bạn cần bây giờ chỉ đơn giản là phân phối hỗn hợp của trên phân phối nhị thức của .$K>r$$X_{K:r}$$r$

Nếu N là cố định và K là ngẫu nhiên, thì số lần thành công K sao cho . Bạn không được đảm bảo để có được K thành công cho bất kỳ K cố định nào nếu N cũng cố định.$K \sim Bin(N,p)$

Ngoài ra, nếu N là ngẫu nhiên và K là cố định và bạn đang tự hỏi về việc phân phối số lượng thử nghiệm, N, cho đến khi đạt được K thành công, thì N (lưu ý rằng các văn bản khác nhau có các định nghĩa khác nhau của nhị thức âm - đôi khi chúng chỉ tính thất bại chứ không phải tổng thử nghiệm).$\sim NegBin(K,p)$

Tổng của k phơi sáng tiêu chuẩn IID là Gamma (k, 1).

Giả sử kịch bản nhị thức âm, bạn có và .$T \mid N \sim Gamma(N,1)$$N \sim NegBin(K,p)$

Tôi không biết có một công thức hay cho mô hình phân cấp này hay không nhưng bạn sẽ có thể dễ dàng có được kỳ vọng bằng cách sử dụng luật tổng kỳ vọng, điều chỉnh trên N. E (T) = E (E (T | N))

Thời gian là thống kê thứ tự của phân phối hàm mũ iid trong đó là nhị thức phân phối với các tham số . Mỗi thống kê đơn hàng được phân phối như trong giải pháp này được mô tả dưới đây , mà bạn kết hợp theo kết quả của .$K$$N'$$N'$$N, p$$N'$

Hãy là tỷ giá của . Sau đó, thống kê đơn hàng đầu tiên của các phân phối theo cấp số nhân của có tỷ lệ được phân phối theo cấp số nhân với tỷ lệ vì như thể Poisson chạy đua với nhau và thời gian của người chiến thắng giống như thời gian chờ đợi của chồng chất. Thống kê đơn hàng thứ hai bổ sung vào phân phối theo cấp số nhân với tỷ lệ vì một quá trình Poisson ít hơn đang chạy đua, v.v.$\lambda$$T$$N'$$\lambda$$N' \lambda$$N'$$(N'-1)\lambda$