Ví dụ về tính toán kỳ vọng của một RV rời rạc bằng cách sử dụng tích phân Riemann-Stieltjes?

Ký hiệu tích phân Riemann-Stieltjes được sử dụng trong các biểu thức kỳ vọng trong một số văn bản xác suất. Về cơ bản, dF (x) bật lên trong tích phân thay vì f (x) dx trong tích phân, vì CDF F (x) có thể không khác biệt đối với phân phối rời rạc.

Động lực mà tôi đã nghe cho điều này thường là đưa ra một định nghĩa thống nhất về kỳ vọng thay vì xử lý nó với một trường hợp riêng biệt và một trường hợp liên tục. Nó cũng được cho là để làm cho nó dễ dàng hơn để suy nghĩ về hỗn hợp rời rạc và liên tục. Nhưng tôi chưa bao giờ thấy một ví dụ về tính toán kỳ vọng với tích phân Riemann - Stieltjes cho phân phối rời rạc (hoặc cho phân phối là hỗn hợp của khối lượng điểm và phân phối liên tục).

Ai đó có thể vui lòng cung cấp một ví dụ về cả hai hoặc một trong hai? Cảm ơn!

Vì bạn không có vẻ như bạn đã làm được nhiều điều với tích phân, nên tôi sẽ thảo luận điều này theo kiểu rất cơ bản (và hơi tay) để truyền đạt điều gì đó xảy ra. Tuy nhiên, bạn có thể muốn bắt đầu bằng một lời nhắc, bằng cách xem định nghĩa của tích phân Stieltjes, xem, ví dụ Mathworld hoặc Wikipedia . Thực hiện các tích phân đúng cách bao gồm việc xem xét giới hạn trong định nghĩa và trong những trường hợp không rõ ràng, đó thực sự là những gì bạn cần làm.

Nếu phân phối hoàn toàn rời rạc thì 0 ngoại trừ tại các lần nhảy, trong đó p ( x ) - vì vậy đối với các trường hợp rời rạc, tích phân có nghĩa đen là tổng thông thường.$dF$$p(x)$

Chỉ là một ví dụ, xem xét một Bernoulli (0,4).

Vì vậy, trong ví dụ này, . (Đó không chỉ là "chúng bằng nhau về giá trị" mà "những thứ đó là những cách khác nhau để thể hiện cùng một thứ"; tôi có lẽ nên sử dụng một biểu tượng phù hợp hơn.)$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}\,x\,dF = \sum_x x\,p(x)$

$dF$$0$$x=0$$dF$$0.6$$x=1$$0.4$$0\cdot 0.6 + 1 \cdot 0.4$

Mặc dù thống nhất các công thức rời rạc và liên tục là gọn gàng, nhưng đó không thực sự là nơi mà phần lớn giá trị của nó xuất hiện trong tâm trí tôi. Tôi thấy có nhiều giá trị hơn trong thực tế là nó áp dụng cho các trường hợp bạn không có các biến ngẫu nhiên rời rạc hoặc liên tục - và có nhiều trường hợp bạn gặp phải dữ liệu thực tế, vì vậy đó không phải là vấn đề lý thuyết bí truyền. Có ký hiệu có thể xử lý trơn tru các trường hợp "không rời rạc hoặc liên tục" cũng như với các trường hợp đặc biệt rời rạc và liên tục cùng một lúc, đó là một lợi ích thực sự.

$0.6$$(\mu,\sigma^2)$$\mu=1.384$$\sigma=1.823$

$E(X)=\int_{-\infty}^{\infty} x \, dF$$x.p(x)$$0$$0.6$$x=0$$0$$x\cdot f(x)$$0$$dF$$0$$F$$0.4$$0$

$g(x)=x$

Ngay cả với các chức năng rất hay này (nơi bạn có thể coi chúng như Riemann khi chúng liên tục, là một tập hợp con của các trường hợp được Stieltjes bảo vệ), có vô số trường hợp trong các hỗn hợp như vậy (thay vì chỉ 'rời rạc' hoặc 'liên tục' ) có thể được xử lý bằng ký hiệu này.

Một tài liệu tham khảo hữu ích sử dụng rộng rãi này để hiển thị hoặc thảo luận về nhiều kết quả khác nhau là Lý thuyết thống kê nâng cao (Kendall và Stuart - hoặc trong các phiên bản gần đây hơn, Stuart và Ord). Đừng để tiêu đề làm bạn sợ, đó là một cuốn sách rất dễ đọc.

Vì vậy, nếu bạn (ví dụ) chơi xung quanh với các tích phân trong khi nhìn vào bất đẳng thức Ch Quashev, bạn không chỉ thực hiện một trường hợp riêng biệt và một trường hợp liên tục cùng một lúc ... bạn đang bao gồm bất kỳ phân phối nào mà tích phân Stieltjes hoạt động cho - vì vậy nếu bạn tự hỏi về những gì xảy ra ở Ch Quashev nếu bạn có một bản phân phối như nói rằng lượng mưa một, lo, tất cả đều được chăm sóc bởi cùng một sự phát triển. Và nếu ngày mai, bạn của bạn xuất hiện với phiên bản beta không có ai bị thổi phồng, thì bạn cũng đã bao gồm điều đó. Và như thế ...

[Nếu bạn gặp phải tình huống mà bạn không thể thấy ngay nghĩa của tích phân, hãy quay lại định nghĩa và làm theo nó.]

(Tích phân tốt đẹp này có thể được thay thế bằng những thứ có khả năng xử lý các tình huống thậm chí rộng hơn - cho mục đích thống kê, thường là tích phân Lebesgue hoặc Lesbesgue-Stieltjes )