Là sự biến đổi logarit đủ để chế ngự mọi phân phối?

Hôm nay tôi nhận ra một thực tế khá nổi tiếng. Sự logbiến đổi của một biến ngẫu nhiên, được rút ra từ phân phối đuôi chất béo, ánh xạ thành phân phối đuôi theo cấp số nhân . Câu hỏi của tôi rất đơn giản:

Là logarit đủ để chế ngự mọi phân phối?

Tôi không biết các bản phân phối cực đoan hơn của bản phân phối Pareto, sau đó tôi nghĩ vậy, nhưng tôi không biết làm thế nào để chứng minh nó. Sự nghi ngờ này xuất phát từ quan sát, rằng các dân tộc trong lĩnh vực tài chính đã chế ngự các biến ngẫu nhiên của họ bằng logarit, nhưng dường như họ có những khoảng thời gian rất tồi tệ trong trận động đất tài chính.

Câu trả lời là không. Bạn có thể xây dựng các bản phân phối chưa được chỉnh sửa bằng nhật ký theo ví dụ về phân phối Log-Cauchy .

Không. Hãy xem xét các tình huống sau:

• Nếu phân phối của bạn rời rạc và chỉ mất một vài giá trị khác nhau, thì việc ghi nhật ký thường không thực sự "thuần hóa" bất cứ điều gì. ví dụ: 99,9% cơ hội 2,8 và 0,1% cơ hội mười tỷ, lấy nhật ký tự nhiên và bạn có 99,9% cơ hội 1,03 và 0,1% cơ hội 23 (ish). Ghi nhật ký một lần nữa và bạn có 99,9% cơ hội 0,03 và 0,1% cơ hội ~ 3,14. Ghi lại nhật ký và bạn có 99,9% cơ hội -3,53 và 0,1% cơ hội ~ 1,14. Trong mỗi trường hợp, bản phân phối của bạn vẫn là một Bernoulli được chia tỷ lệ, do đó, nó có cùng độ lệch ($\gamma_1 \approx 31.5$) và chính xác cùng tỷ lệ phân phối vượt quá 3,10 và 30 sd so với giá trị trung bình.

• Nếu phân phối của bạn đối xứng hoặc chỉ lệch nhẹ, việc ghi nhật ký thường sẽ làm cho nó lệch trái (và nếu phân phối của bạn bị lệch trái, thì việc ghi nhật ký sẽ khiến nó lệch nhiều hơn ).

• lấy bất kỳ biến ngẫu nhiên nào, $X$, với một bản phân phối mà bạn coi là "chỉ" bên trong ranh giới của "thuần hóa" (được thiết lập sao cho $e^X$chắc chắn là không thuần hóa), tuy nhiên bạn muốn đo nó. Số mũ hai lần ($Y=e^{(e^X)}$). Lấy nhật ký chỉ một lần để nó là "không thuần hóa" bằng biện pháp thuần hóa đó.

• Như Nick Cox đã chỉ ra trong các nhận xét, bạn không thể lấy nhật ký của các giá trị không tích cực - hãy xem xét phân phối đối xứng trên dòng thực "không thuần hóa" ở đuôi (không nhất thiết phải ở giữa 0 , nhưng dù sao đi nữa, hãy làm điều đó). Bạn thậm chí không thể lấy nhật ký của các giá trị không tích cực, vì vậy cố gắng ghi nhật ký sẽ không hoạt động.