Chứng minh rằng

7

Tôi có đẳng thức này trong đó và là ma trận đối xứng vuông.

(A^{- 1} + B^{- 1})^{- 1} = A (A + B)^{- 1} B

$(A^{-1} + B^{-1})^{-1}=A(A+B)^{-1}B$

A

$A$

B

$B$

Tôi đã thực hiện nhiều thử nghiệm về R và Matlab cho thấy điều này nắm giữ, tuy nhiên tôi không biết làm thế nào để chứng minh điều đó.

matrix linear-algebra matrix-inverse

— Trí tuệ
nguồn

Đây là trường hợp đặc biệt của định lý nghịch đảo nhị thức

— Jeremias K

15

Giả sử , , và đều không thể đảo ngược, lưu ý rằng $A$ $B$ $A+B$ $A^{-1}+B^{-1}$

A^{- 1} + B^{- 1} = B^{- 1} + A^{- 1} = B^{- 1} (A + B) A^{- 1}

$A^{-1} + B^{-1} = B^{-1} + A^{-1} = B^{-1}(A+B)A^{-1}$

và sau đó đảo ngược cả hai bên, QED .

Đối xứng là không cần thiết cho điều này để giữ.

— whuber
nguồn

8

Lưu ý rằng

A {(A + B)}^{- 1} B

$\mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B}$

là nghịch đảo của

(A^{- 1} + B^{- 1})

$\left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right)$

nếu và chỉ nếu

A {(A + B)}^{- 1} B (A^{- 1} + B^{- 1}) = I

$\mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B} \left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right) = \mathbf{I}$

và

(A^{- 1} + B^{- 1}) A {(A + B)}^{- 1} B = I

$\left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right) \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B} = \mathbf{I}$

sao cho nghịch đảo trái và phải trùng nhau. Hãy chứng minh tuyên bố đầu tiên. Chúng tôi có thể thấy điều đó

\begin{aligned} A {(A + B)}^{- 1} B (A^{- 1} + B^{- 1}) & = A {(A + B)}^{- 1} (B A^{- 1} + I) \\ = A {(A + B)}^{- 1} (A + B) A^{- 1} \\ = I \end{aligned}

$\begin{align} \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B} \left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right) & = \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \left(\mathbf{B} \mathbf{A}^{-1} + \mathbf{I} \right) \\ &= \mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \left( \mathbf{A} + \mathbf{B} \right) \mathbf{A}^{-1} \\ & = \mathbf{I} \end{align}$

như mong muốn. Một mẹo tương tự sẽ chứng minh tuyên bố thứ hai là tốt. Như vậy $\mathbf{A} \left(\mathbf{A} + \mathbf{B} \right)^{-1} \mathbf{B}$ thực sự là nghịch đảo của $\left(\mathbf{A}^{-1} + \mathbf{B}^{-1} \right)$ .

— JohnK
nguồn