Tại sao một chuỗi thời gian phải đứng yên?

Tôi hiểu rằng một chuỗi thời gian đứng yên là một chuỗi có giá trị trung bình và phương sai không đổi theo thời gian. Ai đó có thể giải thích lý do tại sao chúng tôi phải đảm bảo tập dữ liệu của chúng tôi đứng yên trước khi chúng tôi có thể chạy các mô hình ARIMA hoặc ARM khác nhau trên đó không? Điều này cũng áp dụng cho các mô hình hồi quy bình thường trong đó tự động tương quan và / hoặc thời gian không phải là một yếu tố?

Văn phòng phẩm là một loại cấu trúc phụ thuộc.

Giả sử chúng ta có dữ liệu . Giả định cơ bản nhất là là độc lập, tức là chúng ta có một mẫu. Sự độc lập là một tài sản tốt đẹp, vì sử dụng nó, chúng tôi có thể thu được rất nhiều kết quả hữu ích. Vấn đề là đôi khi (hoặc thường xuyên, tùy thuộc vào chế độ xem) tài sản này không giữ được.X $X_1,...,X_n$$X_i$

Bây giờ tính độc lập là một thuộc tính duy nhất, hai biến ngẫu nhiên có thể độc lập chỉ theo một cách, nhưng chúng có thể phụ thuộc theo nhiều cách khác nhau. Vì vậy, văn phòng phẩm là một cách mô hình hóa cấu trúc phụ thuộc. Nó chỉ ra rằng rất nhiều kết quả tốt đẹp cho các biến ngẫu nhiên độc lập (luật số lượng lớn, định lý giới hạn trung tâm để đặt tên cho một số) giữ cho các biến ngẫu nhiên đứng yên (chúng ta nên nói đúng theo trình tự). Và tất nhiên, hóa ra rất nhiều dữ liệu có thể được coi là ổn định, vì vậy khái niệm về văn phòng phẩm rất quan trọng trong việc mô hình hóa dữ liệu không độc lập.

Khi chúng tôi đã xác định rằng chúng tôi có văn phòng phẩm, tự nhiên chúng tôi muốn mô hình hóa nó. Đây là nơi các mô hình ARMA xuất hiện. Hóa ra, bất kỳ dữ liệu tĩnh nào cũng có thể được xấp xỉ với mô hình ARMA tĩnh, nhờ vào định lý phân rã Wold . Vì vậy, đó là lý do tại sao các mô hình ARMA rất phổ biến và đó là lý do tại sao chúng ta cần đảm bảo rằng các mô hình đứng yên để sử dụng các mô hình này.

Bây giờ một lần nữa câu chuyện tương tự như với độc lập và phụ thuộc. Văn phòng phẩm được định nghĩa duy nhất, tức là dữ liệu là văn phòng phẩm hoặc không, vì vậy chỉ có cách để dữ liệu đứng yên, nhưng có rất nhiều cách để dữ liệu không cố định. Một lần nữa, nó chỉ ra rằng rất nhiều dữ liệu trở nên ổn định sau khi chuyển đổi nhất định. Mô hình ARIMA là một mô hình cho sự không cố định. Nó giả định rằng dữ liệu trở nên ổn định sau khi khác biệt.

Trong bối cảnh hồi quy, tính ổn định rất quan trọng vì các kết quả tương tự áp dụng cho việc giữ dữ liệu độc lập nếu dữ liệu đứng yên.

Số lượng nào chúng ta thường quan tâm khi chúng ta thực hiện phân tích thống kê theo chuỗi thời gian? Chúng tôi muốn biết

• Giá trị mong đợi của nó,
• Phương sai của nó, và
• Mối tương quan giữa các giá trị cách nhau cho một tập hợp các giá trị .$s$$s$

Làm thế nào để chúng ta tính toán những điều này? Sử dụng một ý nghĩa trong nhiều khoảng thời gian.

Giá trị trung bình trong nhiều khoảng thời gian chỉ là thông tin nếu giá trị mong đợi là như nhau trong các khoảng thời gian đó. Nếu các thông số dân số này có thể thay đổi, chúng ta thực sự ước tính điều gì bằng cách lấy trung bình theo thời gian?

(Yếu) văn phòng phẩm yêu cầu các đại lượng dân số này phải giống nhau theo thời gian, làm cho trung bình mẫu là một cách hợp lý để ước tính chúng.

Thêm vào đó, các quy trình đứng yên tránh vấn đề hồi quy giả .

Một ý tưởng cơ bản trong học thống kê là bạn có thể học bằng cách lặp lại một thí nghiệm. Ví dụ, chúng ta có thể tiếp tục lật một cái đinh bấm để tìm hiểu xác suất một cái đinh bấm rơi xuống đầu nó.

Trong bối cảnh chuỗi thời gian, chúng tôi quan sát một lần chạy của một quá trình ngẫu nhiên thay vì chạy lặp lại quá trình ngẫu nhiên. Chúng tôi quan sát 1 thí nghiệm dài hơn là nhiều thí nghiệm độc lập.

Chúng ta cần sự ổn định và tính linh hoạt để việc quan sát một quá trình dài của quá trình ngẫu nhiên tương tự như quan sát nhiều hoạt động độc lập của một quá trình ngẫu nhiên.

Một số định nghĩa (không chính xác)

$\Omega$$\{Y_t\}$$t \in \{1, 2, 3, \ldots\}$$\omega \in \Omega$

• $t$$Y_t$$\Omega$
• $\omega$$X(\omega)$$\{Y_1(\omega), Y_2(\omega), Y_3(\omega), \ldots \}$

Một vấn đề cơ bản trong chuỗi thời gian

$X_1$$X_2$$X_3$$i = 1, \ldots, n$$\omega_i \in \Omega$$X$$\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n X_i$$\operatorname{E}[X]$

$t$$\Omega$

$\frac{1}{T} \sum_{t=1}^T Y_t$

Để có nhiều quan sát theo thời gian để hoàn thành một nhiệm vụ tương tự như nhiều lần rút ra từ không gian mẫu , chúng ta cần sự ổn định và tính linh hoạt .

$\operatorname{E}[Y]$$\frac{1}{T}\sum_{t =1}^T Y_t$$\operatorname{E}[Y]$

Ví dụ 1: thất bại của văn phòng phẩm

$\{Y_t\}$$Y_t = t$$\{Y_t\}$

$S_t = \frac{1}{t} \sum_{i=1}^t Y_i$$S_t$$t \rightarrow \infty$$S_1 = 1, S_2 = \frac{3}{2}, S_3 = 2, \ldots, S_t = \frac{t+1}{2}$$Y_t$$S_t$$t \rightarrow \infty$

Ví dụ: thất bại của ergodility

$X$$Y_t = X$$t$$\{Y_t\} = (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, \ldots)$$\{Y_t\} = (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, \ldots$

$\operatorname{E}[Y_t] = \frac{1}{2}$$S_t = \frac{1}{t} \sum_{i = 1}^t Y_i$$Y_t$

Để thêm một câu trả lời cấp cao cho một số câu trả lời khác tốt nhưng chi tiết hơn, sự ổn định rất quan trọng bởi vì, nếu không có, một mô hình mô tả dữ liệu sẽ thay đổi độ chính xác ở các thời điểm khác nhau. Như vậy, sự ổn định là cần thiết cho các thống kê mẫu như phương tiện, phương sai và tương quan để mô tả chính xác dữ liệu tại mọi thời điểm quan tâm.

$600<t<800$$200<t<400$

$x_t=x_{t-1}+e_t$

Tuy nhiên, chúng tôi thường tìm kiếm sự ổn định. Tại sao?

Hãy xem xét vấn đề dự báo. Bạn dự báo như thế nào? Nếu mọi thứ khác vào ngày mai thì không thể dự đoán được, bởi vì mọi thứ sẽ khác. Vì vậy, chìa khóa để dự báo là để tìm một cái gì đó mà sẽ giống nhau vào ngày mai, và kéo dài mà đến vào ngày mai. Đó là một cái gì đó có thể là bất cứ điều gì. Tôi sẽ cho bạn một vài ví dụ.

$e_t\sim\mathcal{N}(0,\sigma^2)$$\sigma^2$$\Delta x_t\equiv x_t-x_{t-1}=e_t$$\Delta x_t$

$x_t=\alpha t+e_t$$E[e_t]=0$$\alpha$

Để dự báo, chúng ta hoàn toàn cần tìm thành phần không đổi (bất biến thời gian) trong chuỗi, nếu không thì không thể dự đoán theo định nghĩa. Văn phòng phẩm chỉ là một trường hợp cụ thể của bất biến.

Do phần lớn ARIMA đang tự hồi quy, nên nó sử dụng một loại hồi quy tự gây ra sẽ bị ảnh hưởng không cần thiết bởi xu hướng mạnh mẽ hoặc theo mùa. Kỹ thuật hồi quy bội này dựa trên các giá trị chuỗi thời gian trước đó, đặc biệt là các giá trị trong các giai đoạn mới nhất và cho phép chúng tôi trích xuất một "mối quan hệ" rất thú vị giữa nhiều giá trị trong quá khứ hoạt động để giải thích một giá trị trong tương lai.

$X$$(X_{t+1},\ldots,X_{t+k})$$(X_1,\ldots,X_k)$$t$$k$. Từ Wiki: một quá trình đứng yên (hoặc nghiêm ngặt (ly) quá trình đứng yên hoặc quá trình đứng yên (ly) mạnh là một quá trình ngẫu nhiên mà phân phối xác suất chung không thay đổi khi thay đổi theo thời gian hoặc không gian. Do đó, các tham số như giá trị trung bình và phương sai, nếu chúng tồn tại, cũng không thay đổi theo thời gian hoặc vị trí. Ngoài ra, Cardinal đã chỉ ra chính xác bên dưới hàm tự tương quan phải bất biến theo thời gian (có nghĩa là hàm hiệp phương sai không đổi theo thời gian) chuyển đổi thành các tham số của mô hình ARMA là bất biến / không đổi trong mọi khoảng thời gian.

Ý tưởng về sự ổn định của mô hình ARMA gắn chặt với ý tưởng về tính không khả dụng.

$y(t)=1.1 \,y(t-1)$$(1-1.1 B)$

ARMA và ARIMA được xây dựng với giả định rằng bộ phim là ổn định. Nếu loạt bài không thì dự đoán sẽ không chính xác.

Số liệu thống kê mẫu - trung bình, phương sai, phương sai đồng - hữu ích như mô tả hành vi trong tương lai chỉ khi chuỗi đó đứng yên. Ví dụ: nếu chuỗi liên tục tăng theo thời gian, giá trị trung bình và phương sai của mẫu sẽ tăng theo kích thước của mẫu và chúng sẽ luôn đánh giá thấp giá trị trung bình và phương sai trong các giai đoạn tương lai. Điều quan trọng là phải thận trọng khi cố gắng ngoại suy các mô hình hồi quy được trang bị cho dữ liệu không cố định.

Theo quan điểm của tôi, quá trình ngẫu nhiên là quá trình được chi phối bởi ba thuộc tính thống kê phải là thời gian không thay đổi. Đây là phương sai trung bình và chức năng tương quan tự động. Cả hai lần đầu tiên không nói gì về sự tiến hóa của quá trình, vì vậy thuộc tính thứ ba là chức năng tương quan tự động nên được xem xét để nói với người đó rằng sự phụ thuộc phân rã như thế nào khi thời gian tiến hành (độ trễ).

Để giải quyết bất cứ điều gì chúng ta cần mô hình hóa các phương trình toán học bằng cách sử dụng thống kê.

1. Để giải quyết các phương trình như vậy, nó cần phải độc lập và đứng yên (không di chuyển)
2. Trong dữ liệu cố định, chúng tôi chỉ có thể có được thông tin chi tiết và thực hiện các hoạt động toán học (trung bình, phương sai, v.v.) cho đa mục đích
3. Ở dạng không cố định, rất khó để có được dữ liệu

Trong quá trình chuyển đổi, chúng tôi sẽ nhận được xu hướng và tính thời vụ