Giải pháp không cố định cho phương trình ARMA tĩnh

Bởi "văn phòng phẩm" tôi có nghĩa là "văn phòng phẩm yếu".

Hãy xem xét một phương trình AR (1) "đứng yên":

X_{t} = φ X_{t - 1} + ε_{t},

$X_t=\varphi X_{t-1}+\varepsilon_t,$ trong đó là các khoảnh khắc thời gian rời rạc, một tiếng ồn trắng không có nghĩa (chỉ là một chuỗi iid), . Người ta biết rằng có một giải pháp đứng yên (đó là một chuỗi thời gian riêng biệt thỏa mãn phương trình). Biểu thị nó bằngTuy nhiên, chúng ta có thể giới thiệu một chuỗi thời gian , đó dường như là một giải pháp bất tĩnh cho phương trình "tĩnh" (rõ ràng, không phải là miễn phí của , vì là rõ ràng không có nghĩa).

t \in Z

$t\in\mathbb{Z}$

ε_{t}

$\varepsilon_t$

φ \in (- 1, 1)

$\varphi\in(-1,1)$

X_{t} .

$X_t.$

Y_{t} = X_{t} + φ^{t}

$Y_t=X_t+\varphi^t$

E [Y_{t}]

$\mathbb{E}[Y_t]$

t

$t$

X_{t}

$X_t$

Với quy trình AR ( ) cố định hơn , bằng cách nào đó có thể làm hỏng tài sản cố định yếu? Hoặc, nói chung, có đúng là bất kỳ phương trình AR (hoặc thậm chí ARMA) rời rạc có một giải pháp không cố định? $p$

— Nikita
nguồn

Có thể mở rộng một chút? Bạn có thể giải thích làm thế nào dường như là một giải pháp không cố định cho ? (Có lẽ cách tốt hơn là không sử dụng và trong cùng một bài tập vì cả hai đều là "phi", điều này có thể khiến nó khó hiểu.)

Y_{t} = X_{t} + ϕ^{t}

$Y_t=X_t+\phi^t$

X_{t} = φ X_{t - 1} + ε_{t}

$X_t=\varphi X_{t-1}+\varepsilon_t$

ϕ

$\phi$

φ

$\varphi$

— Richard Hardy

Bạn có ý nghĩa gì bởi một "giải pháp", loại đối tượng đó là gì? (Giống như một hằng số, một quá trình ngẫu nhiên, ...) Bạn có thể giải thích về điều đó, có lẽ mở rộng phần đó của bài viết không?

— Richard Hardy

Richard, giải pháp được coi là một chuỗi thời gian, tất nhiên. Tôi đã thêm nó vào bài viết.

— Nikita

Bạn có thể chỉ ra đầy đủ hoặc một phần rằng là một giải pháp (không cố định) không? Ngoài ra, có thể tôi đang kén chọn, nhưng tôi không quen với thuật ngữ này và vì vậy có trong phương trình AR (1) dạng chung VÀ như một giải pháp cho nó là một chút khó hiểu. Chúng ta có thể bằng cách nào đó phân biệt giữa hai công chứng? (Nhưng có lẽ đó là tiêu chuẩn để sử dụng ký hiệu như vậy, sau đó bỏ qua nhận xét của tôi.)

Y_{t}

$Y_t$

X_{t}

$X_t$

— Richard Hardy

Tôi có nghĩa là thực tế là một giải pháp rất dễ kiểm tra.

Y_{t}

$Y_t$

— Nikita

Câu trả lời:

Nếu bạn để quá trình của mình tiếp tục, thì bạn sẽ nhận thấy thuật ngữ biến mất: $\varphi^t$

lim_{t \to \infty} φ^{t} = 0

$\lim_{t\to\infty}\varphi^t=0$

Vì vậy, điều này mặc dù phía bên tay phải phụ thuộc vào hữu hạn .

E [Y_{t}] = E [X_{t}] + E [φ^{t}] =_{t \to \infty} 0

$E[Y_t]=E[X_t]+E[\varphi^t]=_{t\to\infty}0$

t

$t$

Vì vậy, câu trả lời cho câu hỏi của bạn là quy trình của bạn không phải là không cố định. Do đó, nó không phục vụ như một ví dụ ngược lại. $Y_t$

Suy nghĩ thêm . Bạn đặt câu hỏi của bạn về các giải pháp của các quá trình ngẫu nhiên. Nhìn vào giải pháp của quá trình AR (1) là gì.

Chẳng hạn, nếu bạn dự đoán bước trước bạn sẽ nhận được: $\tau$

X_{t + τ} = φ^{τ} (X_{t} + \sum_{s = 1}^{τ} ε_{t + s} φ^{- s})

$X_{t+\tau}=\varphi^\tau (X_t+\sum_{s=1}^\tau \varepsilon_{t+s}\varphi^{-s})$

Bạn có thể thấy cách nó đơn giản thu gọn thành tiếng ồn xung quanh 0 khi phát triển, bất kể ban đầu là gì . Khi bạn thêm thuật ngữ nó cũng biến mất, vì vậy giải pháp ổn định là như nhau: nhiễu quanh 0: $\tau$ $X_t$ $\varphi^\tau$

X_{t + τ} + φ^{τ} = φ^{τ} (X_{t} + \sum_{s = 1}^{τ} ε_{t + s} φ^{- s} + φ^{s})

$X_{t+\tau}+\varphi^\tau=\varphi^\tau (X_t+\sum_{s=1}^\tau \varepsilon_{t+s}\varphi^{-s}+\varphi^s)$

— Aksakal
nguồn

Điều đó có trả lời các câu hỏi không? Tôi gặp khó khăn khi nhìn thấy kết nối rõ ràng (mặc dù tôi thấy một số kết nối).

— Richard Hardy

Tôi cập nhật câu trả lời.

— Aksakal

Cảm ơn bạn. Tôi thấy cả câu hỏi và câu trả lời đều thú vị, nhưng phải mất một vài nỗ lực để quấn đầu quanh chúng. Yếu tố theo yếu tố này rất dễ, nhưng mối quan hệ giữa chúng có thể bị lừa :)

— Richard Hardy

@RichardHardy, tôi đang lười biếng ở đây. Có lẽ tôi nên mô tả tất cả những điều này trong khuôn khổ của SDE, thì nó sẽ rõ ràng hơn.

— Aksakal

Ngoài ra, chúng ta được phép xem xét các trường hợp và loại tay vẫy hữu hạn (đặc biệt là trong sự mong đợi trong công thức thứ hai)? Tôi có thể thấy bạn đang đi đâu nếu bạn nhìn vào các điểm cố định của SDE, nhưng đó có thực sự là những gì chúng ta cần ở đây không? Tôi đoán điều đó phụ thuộc vào định nghĩa của giải pháp là gì và OP dường như quan tâm không phải ở các điểm cố định mà là các quy trình thỏa mãn một số tính chất / phương trình (xem các bình luận trong OP).

t \to \infty

$t\rightarrow\infty$

t

$t$

— Richard Hardy

Thuật ngữ đang được sử dụng trong câu hỏi không hoàn toàn chính xác. Bạn đang trộn lẫn mô hình (hoặc phương trình) và giải pháp cho mô hình.

Không có nghĩa gì khi nói về một phương trình (trong trường hợp này, một hệ phương trình sai phân ngẫu nhiên) là đứng yên hoặc không cố định. Văn phòng phẩm, thiếu nó, là một tài sản của một giải pháp. Một phương trình có thể có các giải pháp đứng yên hoặc không cố định.

Những gì bạn đã tìm thấy là hai giải pháp, một tĩnh và một không cố định, cho phương trình AR (1) khi tham số AR . (Nếu , thay thế cho trong ví dụ của bạn.) Ngược lại, khi , chỉ có các giải pháp không cố định. $|\phi| \neq 1$ $|\phi| > 1$ $-t$ $t$ $|\phi| = 1$

Câu trả lời cho câu hỏi của bạn là, vâng, điều này khái quát cho trường hợp AR (p). Phương trình AR (p) có cả giải pháp đứng yên và không cố định nếu đa thức không có gốc trên vòng tròn đơn vị và tất cả các gốc là có thật.

Φ (L) X_{t} = ϵ_{t}, t = \dots - 1, 0, 1, \dots

$\Phi(L)X_t = \epsilon_t, \; t = \cdots -1, 0, 1, \cdots$

Φ (z^{- p})

$\Phi(z^{-p})$

Ví dụ: giả sử mô hình AR (2) có một giải pháp đứng yên và có hai gốc thực và , thì là một giải pháp không cố định.

X_{t} = ϕ_{1} X_{t - 1} + ϕ_{2} X_{t - 2} + ϵ_{t}

$X_t = \phi_1 X_{t-1} + \phi_2 X_{t-2} + \epsilon_t$

(X_{t})

$(X_t)$

z^{2} - ϕ_{1} z - ϕ_{2}

$z^2 - \phi_1 z - \phi_2$

a

$a$

b

$b$

X_{t} + a^{t} + b^{t - 1}

$X_t + a^t + b^{t-1}$

Lưu ý cài đặt và xem xét khôi phục ví dụ AR (1) của bạn. $\phi_2 = 0$ $z - \phi_1 = 0$

— Michael
nguồn