Ước tính tâm và bán kính của một hình cầu từ các điểm trên bề mặt

Nếu chúng ta giả định rằng các điểm dữ liệu của chúng ta đã được lấy mẫu từ bề mặt của một hình cầu (với một số nhiễu loạn), làm thế nào chúng ta có thể phục hồi trung tâm của hình cầu đó?

Trong quá trình tìm kiếm của mình, tôi đã tìm thấy những bài báo về một cái gì đó có nhãn "hồi quy hình cầu", nhưng có vẻ như nó không giống như vậy. Có lẽ tôi chỉ không hiểu nó.

Có một công thức đơn giản, tương tự như hồi quy tuyến tính, tìm thấy một điểm và bán kính tâm hình cầu làm giảm thiểu khoảng cách bình phương tổng của một tập hợp các điểm dữ liệu từ bề mặt của hình cầu?

Chỉnh sửa 1:

Chúng ta có thể giả sử rằng nhiễu sẽ nhỏ hơn 2 hoặc 3 bậc so với bán kính của quả cầu và Gaussian hình cầu đều. Tuy nhiên, bản thân các mẫu chắc chắn sẽ không được vẽ đồng nhất từ ​​bề mặt của hình cầu, nhưng có khả năng sẽ được nhóm lại trong một vài miếng vá trên bề mặt, có khả năng tất cả nằm trong một bán cầu. Một giải pháp hoạt động cho dữ liệu trong là tốt, nhưng một giải pháp chung cho chiều tùy ý cũng rất tuyệt.$\mathbb R^3$

Chỉnh sửa 2:

Cơ hội nào tôi có thể nhận được câu trả lời hợp lý nếu tôi sử dụng hồi quy tuyến tính, , trong không gian 7 chiều giả vờ rằng các thành phần bình phương độc lập với các tham số khác:$y = X\beta + \epsilon$

$\begin{align} X &= \begin{array}{ccccccc}[-2x& -2y&-2z&1&1&1&-1]\end{array}\\ \beta &= \begin{array}{ccccccc}[x_0 & y_0 & z_0 & x_0^2 & y_0^2 & z_0^2 & r^2]'\end{array}\\ y &= x^2+y^2+z^2\end{align}$

Tốt nhất, tôi cho rằng số liệu lỗi của tôi sẽ hơi kỳ quặc. Tệ nhất là giải pháp sẽ không gần với sự nhất quán.
... hoặc điều đó thật ngớ ngẩn vì với bốn cột giống hệt nhau, chúng ta có một ma trận số ít khi chúng ta cố gắng thực hiện hồi quy.

Chỉnh sửa 3:

Vì vậy, có vẻ như đây là những lựa chọn của tôi:

1. Tối ưu hóa số phi tuyến tính bằng cách sử dụng một số hàm chi phí:$f(x_0,y_0,z_0,r|X) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}^n \left(r - \sqrt{(x_i-x_0)^2+(y_i-y_0)^2+(z_i-z_0)^2}\right)^2$
2. Hough-Transform: phân biệt không gian hợp lý hoặc các tâm và bán kính có thể xung quanh các điểm dữ liệu. Mỗi điểm bỏ phiếu cho các trung tâm tiềm năng mà nó có thể là một phần của mỗi lần phân biệt bán kính cụ thể. Hầu hết phiếu bầu đều thắng. Điều này có thể ổn nếu có khả năng có một số lượng hình cầu không xác định, nhưng chỉ với một đó là một giải pháp lộn xộn.
3. Ngẫu nhiên (hoặc có hệ thống) chọn các nhóm 4 điểm và tính toán phân tích trung tâm . Từ chối lấy mẫu nếu không có điều kiện (các điểm gần như phẳng). Từ chối các ngoại lệ và tìm trung tâm trung bình. Từ đó chúng ta có thể tìm thấy bán kính trung bình.

Có ai có một phương pháp tốt hơn?

Đây là một số Rmã cho thấy một cách tiếp cận bằng cách sử dụng bình phương tối thiểu:

# set parameters

mu.x <- 8
mu.y <- 13
mu.z <- 20
mu.r <- 5
sigma <- 0.5

# create data
tmp <- matrix(rnorm(300), ncol=3)
tmp <- tmp/apply(tmp,1,function(x) sqrt(sum(x^2)))

r <- rnorm(100, mu.r, sigma)

tmp2 <- tmp*r

x <- tmp2[,1] + mu.x
y <- tmp2[,2] + mu.y
z <- tmp2[,3] + mu.z


# function to minimize
tmpfun <- function(pars) {
    x.center <- pars[1]
    y.center <- pars[2]
    z.center <- pars[3]
    rhat <- pars[4]

    r <- sqrt( (x-x.center)^2 + (y-y.center)^2 + (z-z.center)^2 )
    sum( (r-rhat)^2 )
}

# run optim
out <- optim( c(mean(x),mean(y),mean(z),diff(range(x))/2), tmpfun )
out


# now try a hemisphere (harder problem)

tmp <- matrix(rnorm(300), ncol=3)
tmp[,1] <- abs(tmp[,1])
tmp <- tmp/apply(tmp,1,function(x) sqrt(sum(x^2)))

r <- rnorm(100, mu.r, sigma)

tmp2 <- tmp*r

x <- tmp2[,1] + mu.x
y <- tmp2[,2] + mu.y
z <- tmp2[,3] + mu.z

out <- optim( c(mean(x),mean(y),mean(z),diff(range(y))/2), tmpfun )
out

Nếu bạn không sử dụng Rthì bạn vẫn có thể theo logic và chuyển nó sang ngôn ngữ khác.

Về mặt kỹ thuật, tham số bán kính nên được giới hạn bởi 0, nhưng nếu độ biến thiên nhỏ so với bán kính thực thì phương thức không giới hạn sẽ hoạt động tốt hoặc tối ưu hóa có các tùy chọn để thực hiện tối ưu hóa giới hạn, (hoặc bạn chỉ có thể thực hiện giá trị tuyệt đối của bán kính trong hàm để giảm thiểu).