Nếu một ma trận hiệp phương sai nghịch đảo là thưa thớt, tôi có thể nói gì về ma trận hiệp phương sai?

Làm thế nào để điều kiện thưa thớt trên một ma trận hiệp phương sai nghịch ảnh hưởng đến ma trận hiệp phương sai thực tế?

Như Yair đã nhận xét, không có điều kiện thưa thớt cụ thể của ma trận hiệp phương sai nghịch đảo ảnh hưởng đến ma trận hiệp phương sai thực tế hoặc ngược lại. Bất cứ điều gì khác ngoài các mẫu ma trận thưa thớt tầm thường (ví dụ: đường chéo) không đảm bảo rằng chúng sẽ phản ánh trên cả một ma trận cụ thể và nghịch đảo của nó. Ngay cả ma trận ba cực có thể dễ dàng có các nghịch đảo không thưa thớt.

Đối với các trường hợp cụ thể khi độ thưa của ma trận xảy ra trong các khối, bạn có thể lấy được một số kết quả xuất phát từ thuật toán giả ma trận Khối , trong đó nêu rõ:

$\left[\begin{array}{cc} A & B \\C & D \end{array}\right]^{-1} =\begin{bmatrix} (A - BD^{-1}C)^{-1} & -A^{-1}B(D - CA^{-1}B)^{-1} \\ -D^{-1}C(A - BD^{-1}C)^{-1} & (D - CA^{-1}B)^{-1} \end{bmatrix}$

nhưng đó có lẽ là về nó (hoàn toàn là giai thoại, tôi đã cố gắng áp đặt các mô hình thưa thớt thông qua phân rã Cholesky của ma trận PSD nhưng tôi đã thất bại trong lần thử và lỗi của mình). Bạn cũng có thể muốn xem xét việc xem xét thuật toán Cuthill của McKee (CM) nếu bạn mong đợi một số tính năng phụ thuộc sẽ được phản ánh trong ma trận hiệp phương sai. Thuật toán CM cho phép một ma trận thưa thớt có mô hình thưa thớt đối xứng thành một dạng ma trận băng tần với băng thông nhỏ, điều này có thể giúp duy trì một số độ thưa đối với các mục nhập chéo của ma trận nghịch đảo nhưng điều đó không được đảm bảo. (Áp dụng CM -if hợp lý - có thể rất hữu ích cho các ứng dụng cụ thể (ví dụ: trong các thói quen làm mịn 2D) và có thể tăng tốc đáng kể các tính toán của bạn.)