Tìm dữ liệu và độ tin cậy của elip elipses (vùng?) Cho trung vị bivariate?

Tôi đang tự hỏi về các cách tính toán dữ liệu và độ tin cậy elip xung quanh một trung vị bivariate. Ví dụ: tôi có thể dễ dàng tính toán hình elip dữ liệu hoặc hình elip độ tin cậy cho giá trị trung bình hai biến của dữ liệu sau (ở đây chỉ hiển thị hình elip dữ liệu)

library("car")
set.seed(1)
df <- data.frame(x = rnorm(200, mean = 4, sd = 1.5),
                 y = rnorm(200, mean = 1.4, sd = 2.5))
plot(df)
with(df, dataEllipse(x, y, level = 0.68, add = TRUE))

Nhưng tôi đang vật lộn với cách tôi làm điều này cho một trung vị bivariate? Trong trường hợp đơn biến, tôi chỉ có thể khởi động lại mẫu để tạo khoảng thời gian cần thiết, nhưng tôi không chắc làm thế nào để dịch phần này sang trường hợp bivariate?

Như được chỉ ra bởi @Andy W, trung vị không được xác định duy nhất. Trong trường hợp này, chúng tôi đã sử dụng trung vị không gian , bằng cách tìm một điểm giảm thiểu định mức L1 về khoảng cách giữa các quan sát tại điểm đó. Một tối ưu hóa đã được sử dụng để tính toán trung vị không gian từ các điểm dữ liệu được quan sát.

Ngoài ra, các cặp dữ liệu x, y trong trường hợp sử dụng thực tế là hai hàm riêng của phân tích tọa độ chính của ma trận không giống nhau, do đó x và y phải trực giao, nếu điều đó cung cấp một con đường tấn công cụ thể.

Trong trường hợp sử dụng thực tế, chúng tôi muốn tính toán hình elip dữ liệu / độ tin cậy cho các nhóm điểm trong không gian Euclide. Ví dụ:

Phân tích này là một dạng tương tự đa biến của phép thử Levene về tính đồng nhất của phương sai giữa các nhóm. Chúng tôi sử dụng trung bình không gian hoặc trung tâm nhóm tiêu chuẩn làm thước đo của xu hướng trung tâm đa biến và muốn thêm tương đương với hình elip dữ liệu trong hình trên cho trường hợp trung bình không gian.

Đây là một câu hỏi hay.

Tôi sẽ làm theo gợi ý của @ amip và khởi động các trung vị không gian, sử dụng depth::med()với method="Spatial". Tuy nhiên, có một sự phức tạp nhỏ: medkhông thích nó khi có các điểm dữ liệu trùng lặp, vì vậy chúng tôi không thể thực hiện một bootstrap đơn giản. Thay vào đó, tôi sẽ vẽ một mẫu bootstrap và sau đó xáo trộn từng điểm một lượng nhỏ - nhỏ hơn khoảng cách tối thiểu trong mỗi kích thước và trong mẫu dữ liệu gốc - trước khi tính toán trung vị không gian.$x$$y$

Cuối cùng, tôi sẽ tính toán hình elip nhỏ nhất bao gồm một tỷ lệ xác định (95%) của các trung tuyến và cốt truyện đã được khởi động .

library(depth)      # for med()
library(MASS)           # for cov.rob()
library(cluster)    # for ellipsoidhull()

# create data
set.seed(1)
df <- data.frame(x = rnorm(200, mean = 4, sd = 1.5),
                 y = rnorm(200, mean = 1.4, sd = 2.5))

# find minimum distances in each dimension for later jittering
foo <- outer(X=df$x,Y=df$x,FUN=function(xx,yy)abs(xx-yy))
delta.x <- min(foo[upper.tri(foo)])/2
foo <- outer(X=df$y,Y=df$y,FUN=function(xx,yy)abs(xx-yy))
delta.y <- min(foo[upper.tri(foo)])/2

# bootstrap spatial medians, using jittering
n.boot <- 1000
pb <- winProgressBar(max=n.boot)
boot.med <- matrix(NA,nrow=n.boot,ncol=2)
for ( ii in 1:n.boot ) {
    setWinProgressBar(pb,ii,paste(ii,"of",n.boot))
    index <- sample(1:nrow(df),nrow(df),replace=TRUE)
    bar <- df[index,] + 
      data.frame(x=runif(nrow(df),-delta.x,delta.x),
                 y=runif(nrow(df),-delta.y,delta.y))
    boot.med[ii,] <- med(bar,method="Spatial")$median
}
close(pb)

# specify confidence level
pp <- 0.95

# find smallest ellipse containing the specified proportion of bootstrapped medians
fit <- cov.rob(boot.med, quantile.used = ceiling(pp*n.boot), method = "mve")
best_ellipse <- ellipsoidhull( boot.med[fit$best,] )

plot(df)
points(boot.med,pch=19,col="grey",cex=0.5)
points(df)
lines(predict(best_ellipse), col="red")
legend("bottomright",bg="white",pch=c(21,19,NA),
    col=c("black","grey","red"),pt.bg=c("white",NA,NA),lwd=c(0,0,1),
    legend=c("Observations","Bootstrapped medians","Confidence ellipse"))

Cuối cùng, lưu ý rằng trung vị không gian bivariate phân phối không có triệu chứng (Brown, 1983, JRSS, Series B ) , vì vậy chúng tôi cũng có thể phân phối với "bootstrap jitter" ở trên và tính trực tiếp hình elip, tin rằng là "không có triệu chứng ". Tôi có thể chỉnh sửa bài đăng này để bao gồm hình elip độ tin cậy tham số này nếu tôi tìm thấy thời gian trong những ngày tiếp theo.$n=200$