Giới hạn chức năng tạo khoảnh khắc

Câu hỏi này xuất phát từ câu hỏi được hỏi ở đây về một hàm tạo thời điểm bị ràng buộc (MGF).

Giả sử $X$ là một biến ngẫu nhiên giáp zero-mean tham gia vào các giá trị trong $[-\sigma, \sigma]$ và để cho $G(t) = E[e^{tX}]$ được MGF của nó. Từ một ràng buộc được sử dụng trong một bằng chứng về bất đẳng thức hoeffding , chúng tôi có mà

G (t) = E [e^{t X}] \leq e^{σ^{2} t^{2} / 2}

$G(t) = E[e^{tX}] \leq e^{\sigma^2t^2/2}$ nơi phía bên phải là dễ nhận biết như MGF của một biến ngẫu nhiên bình thường zero-mean với độ lệch chuẩn

σ

$\sigma$ . Bây giờ, độ lệch chuẩn của

X

$X$ có thể không lớn hơn

σ

$\sigma$ , với giá trị tối đa xảy ra khi

X

$X$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc như vậy

P {X = σ} = P {X = - σ} = \frac{1}{2}

$P\{X = \sigma\} = P\{X = -\sigma\} = \frac{1}{2}$ . Vì vậy, ràng buộc được đề cập có thể được coi là nói rằng MGF của biến ngẫu nhiên giới hạn không có nghĩa trung bình

X

$X$ được giới hạn ở trên bởi MGF của biến ngẫu nhiên bình thường trung bình bằng 0 có độ lệch chuẩn bằng với độ lệch chuẩn tối đa có thể có mà

X

$X$ có thể có.

Câu hỏi của tôi là: đây có phải là kết quả nổi tiếng của lợi ích độc lập được sử dụng ở những nơi khác ngoài bằng chứng về sự bất bình đẳng của Hoeffding, và nếu vậy, nó cũng được biết là mở rộng sang các biến ngẫu nhiên với các phương tiện khác không?

Các kết quả đó nhắc nhở câu hỏi này cho phép phạm vi bất đối xứng $[a,b]$ cho $X$ với $a < 0 < b$ nhưng không nhấn mạnh vào $E[X] = 0$ . Các ràng buộc là

G (t) \leq e^{t^{2} (b - a)^{2} / 8} = e^{t^{2} σ_{m a x}^{2} / 2}

$G(t) \leq e^{t^2(b-a)^2/8} = e^{t^2\sigma_{max}^2/2}$ nơi

σ_{max} = (b - a) / 2

$\sigma_{\max} = (b-a)/2$ là độ lệch chuẩn tối đa có thể có cho một biến ngẫu nhiên với các giá trị được giới hạn ở

[a, b]

$[a,b]$ , nhưng mức tối đa này không đạt được bằng các biến ngẫu nhiên trung bình bằng 0 trừ khi

b = - a

$b = -a$ .

probability probability-inequalities mgf

— Dilip Sarwate
nguồn

Các biến ngẫu nhiên thỏa mãn giới hạn trên mgf như biến bạn trích dẫn được gọi là biến ngẫu nhiên subgaussian . Chúng đóng một vai trò trung tâm, ví dụ, trong lý thuyết ma trận ngẫu nhiên không có triệu chứng và một số kết quả liên quan đến cảm biến nén. Xem, ví dụ, liên kết trong câu trả lời ở đây . (Điều này rõ ràng không nói lên câu hỏi cụ thể của bạn; nhưng, nó có tính chất liên quan.)

— Đức hồng y

Tôi không thể trả lời phần đầu tiên của câu hỏi của bạn, nhưng đối với việc mở rộng nó thành các biến ngẫu nhiên với số khác không có nghĩa là ...

$Z$ $[a+\mu,b+\mu]$ và (nhất thiết là hữu hạn) có nghĩa là $\mu$ có thể được chuyển thành một rv $X = Z-\mu$ tất nhiên, đó là không có nghĩa với phạm vi $[a,b]$ (thus satisfying the conditions in your problem statement). The transformed variate has m.g.f. $\phi_X(t) = \exp\{-\mu t\}\phi_Z(t)$ (by basic properties of the m.g.f.) Multiplying both sides by $\exp\{\mu t\}$ and applying the inequality gives:

$\phi_Z(t) = \exp\{\mu t\}\phi_X(t) \leq \exp\{\mu t\}\exp\{t^2\sigma^2_\text{max}/2\} = \exp\{\mu t + t^2\sigma^2_\text{max}/2\}$

Not surprisingly, the m.g.f. of a Normal random variable with the same mean and standard deviation equal to $\sigma_\text{max}$ .

— jbowman
nguồn