Giá trị kỳ vọng của tỷ lệ tối đa của n iid biến thông thường

Giả sử là iid từ và để biểu thị phần tử nhỏ nhất thứ từ . Làm thế nào một người có thể giới hạn trên mức tối đa dự kiến của tỷ lệ giữa hai yếu tố liên tiếp trong ? Đó là, làm thế nào bạn có thể tính toán một hướng trên: $X_1,...,X_n$ $N(\mu,\sigma^2)$ $X_{(i)}$ $i$ $X_1,...,X_n$ $X_{(i)}$

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}}\right)\right]$

Tài liệu mà tôi có thể tìm thấy chủ yếu tập trung vào tỷ lệ giữa hai biến ngẫu nhiên dẫn đến phân phối tỷ lệ mà pdf cho hai phân phối bình thường không tương thích được đưa ra ở đây: https://en.wikipedia.org/wiki/ Tỷ lệ phân phối # Gaussian_ratio_distribution . Mặc dù điều này sẽ cho phép tôi vượt lên trên tỷ lệ trung bình dự kiến của biến, tôi không thể thấy cách khái quát hóa khái niệm này để tìm tỷ lệ tối đa dự kiến của biến. $n$ $n$

— Tối đa
nguồn

Như whuber đã lưu ý dưới đây, kỳ vọng về tỷ lệ của hai chỉ số đơn hàng liên tiếp không hội tụ. Nhưng nếu có, hoặc nếu bạn quan tâm đến sự khác biệt của chúng, hãy nói ... trên thực tế, vấn đề nên đơn giản hóa để tìm tỷ lệ (hoặc chênh lệch, tùy theo từng trường hợp) của hai thống kê đơn hàng tức là ... chỉ từ hình dạng của đuôi Thông thường.

E [max_{i = 1, . . ., n - 1} (X_{(i + 1)} - X_{(i)})]

$E\left[\max\limits_{i=1,...,n-1}\left(X_{(i+1)} - X_{(i)} \right)\right]$

E [X_{(n)} - X_{(n - 1)}]

$E[X_{(n)} -X_{(n-1)}]$

— sói

Kỳ vọng là không xác định.

Đặt là iid theo bất kỳ phân phối có thuộc tính sau: tồn tại số dương và số dương sao cho $X_i$ $F$ $h$ $\epsilon$

\begin{matrix} (1) & F (x) - F (0) \geq h x \end{matrix}

$F(x) - F(0) \ge h x\tag{1}$

cho tất cả . Thuộc tính này đúng với mọi phân phối liên tục, như phân phối chuẩn, có mật độ liên tục và khác , sau đó , cho phép chúng tôi lấy bất kỳ giá trị cố định nào trong khoảng từ đến . $0 \lt x \lt \epsilon$ $f$ $0$ $F(x) - F(0) = f(0)x + o(x)$ $h$ $0$ $f(0)$

Để đơn giản hóa việc phân tích, tôi cũng sẽ giả sử và , cả hai đều đúng với tất cả các phân phối Bình thường. (Cái sau có thể được đảm bảo bằng cách thay đổi kích thước nếu cần thiết. Cái trước chỉ được sử dụng để cho phép đánh giá thấp một xác suất đơn giản.) $F(0) \gt 0$ $1-F(1) \gt 0$ $F$

Hãy để và chúng ta hãy đánh giá quá cao chức năng sống sót của tỷ lệ là $t \gt 1$

\begin{aligned} Pr (\frac{X_{(i + 1)}}{X_{(i)}} > t) & = Pr (X_{(i + 1)} > t X_{(i)}) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, X_{(i)} \leq 1 / t) \\ > Pr (X_{(i + 1)} > 1, 1 / t \geq X_{(i)} > 0, 0 \geq X_{(i - 1)}) . \end{aligned}

$\eqalign{ \Pr\left(\frac{X_{(i+1)}}{X_{(i)}} \gt t\right) &= \Pr(X_{(i+1)} \gt t X_{(i)}) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ X_{(i)} \le 1/t) \\ &\gt \Pr(X_{(i+1)}\gt 1,\ 1/t \ge X_{(i)} \gt 0,\ 0 \ge X_{(i-1)}).}$

Đó là khả năng thứ hai là cơ hội mà chính xác của vượt quá , chính xác một sự dối trá trong khoảng , và số còn lại (nếu có) là nonpositive. Xét về rằng cơ hội được đưa ra bởi biểu thức đa thức $n-i$ $X_j$ $1$ $(0,1/t]$ $i-1$ $F$

(\binom{n}{n - i, 1, i - 1}) (1 - F (1))^{n - i} (F (1 / t) - F (0)) F (0)^{i - 1} .

$\binom{n}{n-i,1,i-1}(1-F(1))^{n-i}(F(1/t)-F(0))F(0)^{i-1}.$

Khi , bất đẳng thức cung cấp giới hạn dưới cho tỷ lệ này là , cho thấy rằng $t \gt 1/\epsilon$ $(1)$ $1/t$

Hàm tồn tại của , có đuôi hoạt động không có triệu chứng là : nghĩa là, cho một số số dương . $S(t)$ $X_{(i+1)}/X_{(i)}$ $1/t$ $S(t) = a/t + o(1/t)$ $a$

Theo định nghĩa, kỳ vọng của bất kỳ biến ngẫu nhiên nào là kỳ vọng của phần dương của nó cộng với kỳ vọng của phần âm của nó . Vì phần tích cực của kỳ vọng - nếu nó tồn tại - là tích phân của hàm tồn tại (từ đến ) và $\max(X,0)$ $-\max(-X,0)$ $0$ $\infty$

\int_{0}^{x} S (t) d t = \int_{0}^{x} (1 / t + o (1 / t)) d t \propto \log (x),

$\int_0^x S(t) dt = \int_0^x (1/t + o(1/t))dt\; \propto\; \log(x),$

phần tích cực của kỳ vọng của phân kỳ. $X_{(i+1)}/X_{(i)}$

Đối số tương tự được áp dụng cho các biến cho thấy phần âm của các phân kỳ kỳ vọng. Do đó, kỳ vọng của tỷ lệ thậm chí không phải là vô hạn: nó không được xác định. $-X_i$

— whuber
nguồn

+1 Tôi chỉ tự mình thử một trường hợp 'đơn giản' và thử đánh giá các kỳ vọng ... và đi đến cùng một kết luận: rằng tích phân kỳ vọng không hội tụ. Có lẽ OP sẽ đặt lại câu hỏi dưới một hình thức khác, chẳng hạn như sự khác biệt hơn là tỷ lệ

n = 3

$n = 3$

— sói