Là một tổng và một sản phẩm của hai ma trận hiệp phương sai cũng là một ma trận hiệp phương sai?

12

Giả sử tôi có hiệp phương sai ma trận và . Những lựa chọn nào sau đó cũng là ma trận hiệp phương sai? $X$ $Y$

$X+Y$
$X^2$
$XY$

Tôi có một chút khó khăn để hiểu chính xác những gì cần thiết cho một cái gì đó là một ma trận hiệp phương sai. Tôi cho rằng điều đó có nghĩa là nếu và rằng để 1 giữ đúng, chúng ta nên có đó $X=\operatorname{cov}(X_1,X_2)$ $Y=\operatorname{cov}(Y_1,Y_2)$ , trong đó và là một số biến ngẫu nhiên khác. Tuy nhiên, tôi không thể hiểu tại sao điều đó lại đúng với bất kỳ một trong ba lựa chọn. Bất kỳ cái nhìn sâu sắc sẽ được đánh giá. $\operatorname{cov}(X_1,X_2) + \operatorname{cov}(Y_1,Y_2) = \operatorname{cov}(Z_1, Z_2)$ $Z_1$ $Z_2$

covariance covariance-matrix

— rbm
nguồn

12

Lý lịch

Một hiệp phương sai ma trận cho một vector của các biến ngẫu nhiên là hiện thân một thủ tục để tính toán phương sai của bất kỳ sự kết hợp tuyến tính của các biến ngẫu nhiên. Nguyên tắc là đối với bất kỳ định dạng vector của hệ số , $\mathbb{A}$ $X=(X_1, X_2, \ldots, X_n)^\prime$ $\lambda = (\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$

\begin{matrix} (1) & Var (λ X) = λ A λ^{'} . \end{matrix}

$\operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.\tag{1}$

Nói cách khác, quy tắc nhân ma trận mô tả quy tắc phương sai.

Hai thuộc tính của là ngay lập tức và rõ ràng: $\mathbb{A}$

Bởi vì phương sai là kỳ vọng của các giá trị bình phương, chúng không bao giờ có thể âm. Như vậy, đối với tất cả các vectơ , Ma trận hiệp phương sai phải không âm-xác định. $\lambda$
$0 \leq Var (λ X) = λ A λ^{'} .$ $0 \le \operatorname{Var}(\lambda X) = \lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime.$
$1\times 1$ $(1)$
$λ A λ^{'} = Var (λ X) = Var (λ X)^{'} = {(λ A λ^{'})}^{'} = λ A^{'} λ^{'} .$ $\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime = \operatorname{Var}(\lambda X) = \operatorname{Var}(\lambda X) ^\prime = \left(\lambda \mathbb{A} \lambda ^\prime\right)^\prime = \lambda \mathbb{A}^\prime \lambda ^\prime.$ $\lambda$ $\mathbb{A}$ phải bằng hoán vị của nó : ma trận hiệp phương sai phải đối xứng. $\mathbb{A}^\prime$

Kết quả sâu hơn là bất kỳ ma trận đối xứng không âm xác định nào là ma trận hiệp phương sai. $\mathbb{A}$ Điều này có nghĩa là thực sự có một số biến ngẫu nhiên có giá trị véc tơ với là hiệp phương sai của nó. Chúng tôi có thể chứng minh điều này bằng cách xây dựng một cách rõ ràng . Một cách là thông báo rằng (đa biến) hàm mật độ với tài sản $X$ $\mathbb{A}$ $X$ $f(x_1,\ldots, x_n)$ cócho hiệp phương sai của nó. (Một số món ngon là cần thiết khikhông thể đảo ngược - nhưng đó chỉ là một chi tiết kỹ thuật.)

\log (f) \propto - \frac{1}{2} (x_{1}, \dots, x_{n}) A^{- 1} (x_{1}, \dots, x_{n})^{'}

$\log(f) \propto -\frac{1}{2} (x_1,\ldots,x_n)\mathbb{A}^{-1}(x_1,\ldots,x_n)^\prime$

A

$\mathbb{A}$

A

$\mathbb{A}$

Các giải pháp

Đặt và là ma trận hiệp phương sai. Rõ ràng chúng là hình vuông; và nếu tổng của chúng là có ý nghĩa thì chúng phải có cùng kích thước. Chúng tôi chỉ cần kiểm tra hai thuộc tính. $\mathbb{X}$ $\mathbb{Y}$

Tổng.
- $(X + Y)^{'} = X^{'} + Y^{'} = (X + Y)$ $(\mathbb{X}+\mathbb{Y})^\prime = \mathbb{X}^\prime + \mathbb{Y}^\prime = (\mathbb{X} + \mathbb{Y})$
- $\lambda$ $λ (X + Y) λ^{'} = λ X λ^{'} + λ Y λ^{'} \geq 0 + 0 = 0$ $\lambda(\mathbb{X}+\mathbb{Y})\lambda^\prime = \lambda \mathbb{X}\lambda^\prime + \lambda \mathbb{Y}\lambda^\prime \ge 0 + 0 = 0$
Tôi để điều này như một bài tập.
$2\times 2$
$(\begin{matrix} a & b \\ b & a \end{matrix})$ $\pmatrix{a & b \\ b & a}$ $a^2 \ge b^2$ $a \ge 0$ $\mathbb{XY}$ $X = (\begin{matrix} a & - 1 \\ - 1 & a \end{matrix})$ $\mathbb{X} = \pmatrix{a & -1 \\ -1 & a}$ $a \ge 1$ $\mathbb{Y}$ $Y = (\begin{matrix} b & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $\mathbb{Y} = \pmatrix{b & 0 \\ 0 & 1}$ $b\ge 0$ $-1$ $1$
$\mathbb{XY}$ $a$ $b$

— whuber
nguồn

13

Một ma trận thực là một ma trận hiệp phương sai khi và chỉ khi nó là bán xác định dương đối xứng.

Gợi ý:

$X$ $Y$ $X+Y$ $z^TX z \ge 0$ $z$ $z^TY z \ge 0$ $z$ $z^T(X+Y)z$

$X$ $X^2$ $X$ $X^2$

$X$ $Y$ $XY$

— Đánh dấu đá
nguồn