Điều đó có nghĩa gì khi nói rằng một sự kiện mà xảy ra cuối cùng là gì?

Xem xét bước đi ngẫu nhiên 1 chiều trên các số nguyên $\mathbb{Z}$ với trạng thái ban đầu $x\in\mathbb{Z}$ :

S_{n} = x + \sum_{i = 1}^{n} ξ_{i}

$\begin{equation} S_n=x+\sum^n_{i=1}\xi_i \end{equation}$

nơi gia số $\xi_i$ là IID mà $P\{\xi_i=1\}=P\{\xi_i=-1\}=\frac{1}{2}$ .

Người ta có thể chứng minh rằng (1)

P^{x} {S_{n} reaches +1 eventually} = 1

$\begin{equation} P^x{\{S_n \text{ reaches +1 eventually}\}} = 1 \end{equation}$

trong đó chỉ số biểu thị vị trí ban đầu.

Hãy $\tau$ là thời đoạn đầu tiên để nhà nước $+1$ . Nói cách khác, $\tau:=\tau(1):=\min\{n\geq0:S_n=1\}$ . Người ta cũng có thể chứng minh rằng (2)

E τ = + \infty

$\begin{equation} E\tau = +\infty \end{equation}$

Cả hai bằng chứng có thể được tìm thấy trong http://galton.uchicago.edu/~lalley/Cifts/312/RW.pdf . Qua đọc bài báo, tôi hiểu cả hai bằng chứng.

Câu hỏi của tôi là, tuy nhiên, ý nghĩa của "cuối cùng" là gì trong tuyên bố đầu tiên cũng như nói chung. Nếu một cái gì đó xảy ra "cuối cùng", nó không phải xảy ra trong thời gian hữu hạn, phải không? Nếu vậy, điều gì thực sự là sự khác biệt giữa một cái gì đó không xảy ra và cái gì đó không xảy ra "cuối cùng"? Các tuyên bố (1) và (2) trong một số ý nghĩa đang mâu thuẫn với chính tôi. Có những ví dụ khác như thế này?

BIÊN TẬP

Chỉ muốn thêm một động lực cho câu hỏi, ví dụ, một ví dụ đơn giản về một cái gì đó xảy ra "cuối cùng", nhưng với thời gian chờ đợi hữu hạn dự kiến.

\begin{aligned} P {walker eventually moves left} & = 1 - P {walker never moves left} \\ = 1 - lim_{n \to \infty} \frac{1}{2^{n}} \\ = 1 \end{aligned}

$\begin{split} P\{\text{walker eventually moves left}\} & = 1 - P\{\text{walker never moves left}\} \\ & = 1-\lim_{n\to\infty} \frac{1}{2^n} \\ & = 1 \end{split}$

Vì vậy chúng tôi biết rằng người đi sẽ "cuối cùng" di chuyển sang bên trái, và thời gian chờ đợi mong đợi trước khi làm như vậy (ví dụ, di chuyển bên trái) là . $1/(1/2)=2$

Nhìn thấy một cái gì đó xảy ra "cuối cùng" nhưng với "thời gian chờ đợi" vô hạn dự kiến là khá kéo dài cho trí tưởng tượng của tôi. Nửa sau phản hồi của @ whuber là một ví dụ tuyệt vời khác.

— Diệp Thiên
nguồn

cuối cùng không có nghĩa là trong thời gian hữu hạn. Đó chính xác là những gì đang được đối chiếu: P là hữu hạn, trong khi kỳ vọng của tau là vô hạn

— seanv507

Vâng, có một ví dụ điển hình về phân phối Cauchy en.wikipedia.org/wiki/Cauchy_distribution .

— seanv507

@ seanv507 - Có, mặc dù giá trị trung bình của phân phối Cauchy không được xác định thay vì vô hạn (một mẫu trung bình từ dbn Cauchy sẽ nhảy xung quanh khi

tiến đến vô cùng thay vì hội tụ đều đặn đến + Vô cực). Tôi đã nghĩ đến phân phối Pareto ( en.wikipedia.org/wiki/Pareto_distribution ), có nghĩa là = Infinity khi tham số hình dạng của nó

và chưa có chức năng phân phối xác suất được xác định rõ.

n

$n$

α <= 1

$\alpha <= 1$

— RobertF

@RobertF cảm ơn - Tôi phải nói Pareto

— seanv507

Có một số sự thoải mái trong tất cả điều này: nếu

, sau đó

, nhưng không phải là cách khác xung quanh.

P (τ = \infty) > 0

$P(\tau=\infty)>0$

E [τ] = \infty

$E[\tau]=\infty$

— Alex R.

Câu trả lời:

Làm thế nào bạn sẽ chứng minh một sự kiện "cuối cùng xảy ra"? Bạn sẽ tiến hành một thí nghiệm suy nghĩ với một đối thủ giả định. Đối thủ của bạn có thể thách thức bạn với bất kỳ số dương . Nếu bạn có thể tìm thấy một (mà rất có thể phụ thuộc vào ) mà cơ hội của sự kiện xảy ra theo thời gian $p$ $n$ $p$ $n$ ít nhất là , thì bạn sẽ thắng. $1-p$

Trong ví dụ, " " là ký hiệu sai lệch vì bạn sử dụng cả hai để chỉ một trạng thái của bước đi ngẫu nhiên cũng như toàn bộ bước đi ngẫu nhiên. Hãy cẩn thận để nhận ra sự khác biệt. "Reaches cuối cùng" là có nghĩa là để chỉ một tập con của tập tất cả các ngẫu nhiên đi . Mỗi bước đi có vô cùng nhiều bước. Giá trị của tại thời điểm là . " đạt lần $S_n$ $1$ $\mathcal{S}$ $\Omega$ $S\in\Omega$ $S$ $n$ $S_n$ $S$ $1$ $n$ " dùng để chỉ tập hợp con của của tầng lớp xã hội đã đạt đến trạng thái $\Omega$ $1$ theo thời gian . Một cách nghiêm ngặt, đó là bộ $n$

Ω_{1, n} = {S \in Ω ∣ S_{1} = 1 or S_{2} = 1 or \dots or S_{n} = 1} .

$\Omega_{1,n} = \{S\in\Omega \mid S_1=1\text{ or }S_2=1\text{ or }\cdots\text{ or }S_n=1\}.$

Trong trả lời của bạn với đối thủ tưởng tượng, bạn đang trưng bày một số với tài sản đó $\Omega_{1,n}$

P_{ξ} (Ω_{1, n}) \geq 1 - p .

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,n}) \ge 1-p.$

Vì là tùy ý, bạn có sẵn tất cả các yếu tố của tập hợp $n$

Ω_{1, \infty} = ⋃_{n = 1}^{\infty} Ω_{1, n} .

$\Omega_{1,\infty} = \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}.$

(Nhớ lại rằng khi và chỉ khi tồn tại một hữu hạn mà $S \in \bigcup_{n=1}^\infty \Omega_{1,n}$ $n$ , vì vậy không có bất kỳ con số vô hạn tham gia vào liên minh này.) $S \in \Omega_{1,n}$

Khả năng giành chiến thắng trong trò chơi của bạn cho thấy liên minh này có xác suất vượt quá tất cả các giá trị của mẫu , bất kể có thể nhỏ đến mức nào . Do đó, xác suất đó ít nhất là $1-p$ $p\gt 0$ $1$ - và do đó bằng . Sau đó, bạn sẽ chứng minh rằng $1$

P_{ξ} (Ω_{1, \infty}) = 1.

$\mathbb{P}_\xi(\Omega_{1,\infty}) = 1.$

Một cách đơn giản để đánh giá cao sự khác biệt giữa "cuối cùng xảy ra" và có thời gian qua đầu tiên được mong đợi vô hạn là suy ngẫm về một tình huống đơn giản hơn. Đối với bất kỳ số tự nhiên, chúng ta hãy $n$ là dãy $\omega^{(n)}$

ω^{(n)} = (\underset{n}{\underset{⏟}{0, 0, \dots, 0}}, 1, 1, \dots)

$\omega^{(n)} = (\underbrace{0, 0,\ldots,0}_{n},1,1,\ldots)$

trong đó $n$ số không được theo sau bởi một chuỗi vô tận. Nói cách khác, đây là những bước đi ở gốc và tại một thời điểm (hữu hạn) bước tới điểm , sau đó ở lại đó mãi mãi. $1$

Hãy là tập hợp của tất cả những $\Omega$ với rời rạc sigma đại số. Chỉ định thước đo xác suất thông qua $\omega^{(n)}, n=0, 1, 2, \ldots$

P (ω^{(n)}) = \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} = \frac{1}{(n + 1) (n + 2)} .

$\mathbb{P}(\omega^{(n)}) = \frac{1}{n+1} - \frac{1}{n+2} = \frac{1}{(n+1)(n+2)}.$

Điều này được thiết kế để làm cho cơ hội nhảy lên vào thời điểm bằng , rõ ràng là tiếp cận gần tùy ý với . Bạn sẽ giành chiến thắng trong trò chơi. Bước nhảy cuối cùng xảy ra và khi nó xảy ra, nó sẽ ở một thời điểm hữu hạn. Tuy nhiên, thời gian dự kiến khi nó xảy ra là tổng của hàm sinh tồn (mang lại cơ hội không nhảy vào thời điểm ), $1$ $n$ $1-1/(n+1)$ $1$ $n$

E (τ) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots,

$\mathbb{E}(\tau) = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots,$

mà phân kỳ. Đó là bởi vì một xác suất tương đối lớn được đưa ra để chờ đợi một thời gian dài trước khi nhảy.

— whuber
nguồn

Am hiểu lầm tôi nếu tôi đọc phần đầu tiên của bạn như sôi xuống đến một cuộc tranh cãi epsilon / đồng bằng, và do đó về cơ bản chỉ nói

(trong đó

là xác suất của một số sự kiện sau

bước)?

lim_{n \to \infty} P_{n} = 1

$\lim_{ n \to \infty } P_n = 1$

P_{n}

$P_n$

n

$n$

— jpmc26

@jpm Nó không chỉ sôi sục với nó: đó là một đối số epsilon-delta. Trong trường hợp này, "delta" là "

" và "epsilon" được viết "

" như một lời nhắc nhở rằng đó là một xác suất. Sự nhấn mạnh ở đây là về tính hữu hạn của

: giới hạn được xác định theo các giá trị hữu hạn và các phép toán hữu hạn, không phải là vô hạn.

n

$n$

p

$p$

n

$n$

— whuber

Tôi cảm ơn một người dùng ẩn danh cho thấy việc sử dụng underbracetrong mô tả của

ω^{(n)}

$\omega^{(n)}$

— whuber

Rằng một cái gì đó xảy ra cuối cùng có nghĩa là có một thời điểm mà nó xảy ra, nhưng có một ý nghĩa rằng người ta không đề cập đến bất kỳ thời điểm cụ thể nào trước khi nó xảy ra. Nếu bạn nói điều gì đó sẽ xảy ra trong vòng ba tuần, đó là một tuyên bố mạnh mẽ hơn là điều đó sẽ xảy ra cuối cùng. Rằng điều đó sẽ xảy ra cuối cùng không xác định thời gian, chẳng hạn như "ba tuần" hoặc "ba mươi tỷ năm" hoặc "một phút".

— Michael Hardy
nguồn