Làm cách nào để xác định Vùng từ chối khi không có UMP?

Hãy xem xét mô hình hồi quy tuyến tính

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta}+\mathbf{u}$ ,

$\mathbf{u}\sim N(\mathbf{0},\sigma^2\mathbf{I})$ ,

$E(\mathbf{u}\mid\mathbf{X})=\mathbf{0}$ .

Hãy $H_0: \sigma_0^2=\sigma^2$ vs $H_1: \sigma_0^2\neq\sigma^2$ .

Chúng ta có thể suy ra rằng $\frac{\mathbf{y}^T\mathbf{M_X}\mathbf{y}}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-k)$, nơi$dim(\mathbf{X})=n\times k$. Và$\mathbf{M_X}$là ký hiệu đặc trưng cho ma trận Annihilator,$\mathbf{M_X}\mathbf{y}=\hat{\mathbf{y}}$ , nơi y là biến phụ thuộcythụt lùi trênX.$\hat{\mathbf{y}}$$\mathbf{y}$$\mathbf{X}$

Cuốn sách tôi đang đọc nói như sau:

Trước đây tôi đã hỏi những tiêu chí nào nên được sử dụng để xác định Vùng từ chối (RR), xem câu trả lời cho câu hỏi này và tiêu chí chính là chọn RR làm cho bài kiểm tra mạnh nhất có thể.

Trong trường hợp này, với giải pháp thay thế là giả thuyết tổng hợp song phương thường không có xét nghiệm UMP. Ngoài ra, bằng câu trả lời được đưa ra trong cuốn sách, các tác giả không cho thấy nếu họ đã nghiên cứu về sức mạnh của RR của họ. Tuy nhiên, họ đã chọn một RR hai đuôi. Tại sao điều đó, vì giả thuyết không 'đơn phương' xác định RR?

Chỉnh sửa: Hình ảnh này nằm trong hướng dẫn giải pháp của cuốn sách này như là giải pháp để thực hiện 4.14.

Dễ dàng hơn để làm việc đầu tiên thông qua trường hợp các hệ số hồi quy đã biết & giả thuyết null do đó đơn giản. Khi đó thống kê đủ là , trong đó z là số dư; phân phối của mình theo null cũng là một chi-squared thu nhỏ lại bởi σ 2 $T=\sum z^2$$z$$\sigma^2_0$ & với bậc tự do tương đương với kích thước mẫu .$n$

Viết ra tỷ số giữa các khả năng dưới & σ = σ 2 & xác nhận rằng đó là một chức năng ngày càng cao của T đối với bất kỳ $\sigma=\sigma_1$$\sigma=\sigma_2$$T$ :$\sigma_2 > \sigma_1$

Chức năng tỷ lệ log likelihood là , và tỷ lệ thuận vớiTvới độ dốc dương tính khi

$$\ell(\sigma_2;T,n)-\ell(\sigma_1;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\right) + \frac{T}{n} \cdot \left(\frac{1}{\sigma_1^2} - \frac{1}{\sigma_2^2}\right) \right]$$ $T$ .$\sigma_2>\sigma_1$

Vì vậy, bằng các Karlin-Rubin lý mỗi bài kiểm tra một đuôi vs H Một : σ < σ 0 & H 0 : σ = σ 0 vs H Một : σ < σ 0 là thống nhất mạnh mẽ nhất. Rõ ràng không có thử nghiệm UMP của H 0 : σ = σ 0 vs H $H_0:\sigma=\sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$$H_0:\sigma = \sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma < \sigma_0$$H_0:\sigma = \sigma_0$ . Như đã thảo luậnở đây$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$, Thực hiện cả hai bài thi một đuôi & áp dụng nhiều so sánh dẫn sửa chữa để kiểm tra thường được sử dụng với các vùng từ chối kích thước bằng nhau ở cả đuôi, và nó khá hợp lý khi bạn đang đi để khẳng định hoặc là hoặc σ < σ 0 khi bạn từ chối null.$\sigma>\sigma_0$$\sigma<\sigma_0$

Tiếp theo tìm tỷ số giữa các khả năng dưới , ước tính tối đa-khả năng σ , & σ = σ 0 :$\sigma=\hat\sigma$$\sigma$$\sigma=\sigma_0$

Như σ 2 = T , các log likelihood thống kê kiểm tra tỷ lệ làℓ( σ ;T,n)-ℓ(σ0;T$\hat\sigma^2=\frac{T}{n}$

$$\ell(\hat\sigma;T,n)-\ell(\sigma_0;T,n)=\frac{n}{2} \cdot \left[\log \left(\frac{n\sigma_0^2}{T}\right) + \frac{T}{n\sigma_0^2} - 1 \right]$$

Đây là một con số tốt cho định lượng bao nhiêu sự ủng hộ dữ liệu trên H 0 : σ = σ 0 . Và khoảng tin cậy được hình thành từ việc đảo ngược thử nghiệm tỷ lệ khả năng có đặc tính hấp dẫn rằng tất cả các giá trị tham số bên trong khoảng có khả năng cao hơn so với bên ngoài. Phân phối tiệm cận của hai lần tỷ lệ khả năng đăng nhập đã được biết đến, nhưng đối với một thử nghiệm chính xác, bạn không cần cố gắng thực hiện phân phối của nó, chỉ cần sử dụng xác suất đuôi của các giá trị T tương ứng ở mỗi đuôi.$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$$H_0:\sigma = \sigma_0$$T$

Nếu bạn không thể có một bài kiểm tra mạnh mẽ nhất, bạn có thể muốn một bài kiểm tra mạnh nhất so với các lựa chọn gần nhất với null. Tìm đạo hàm của hàm khả năng ghi nhật ký đối với Hàm số điểm:$\sigma$

$$\frac{\mathrm{d}\,\ell(\sigma;T,n)}{\mathrm{d}\,\sigma}=\frac{T}{\sigma^3} - \frac{n}{\sigma}$$

$\sigma_0$$H_0:\sigma=\sigma_0$$H_\mathrm{A}:\sigma \neq \sigma_0$

$\alpha$$\phi(T)= 1$$T<c_1$$T>c_2$, else $\phi(T)= 0$, you can find the uniformly most powerful unbiased test by solving

Một âm mưu giúp thể hiện sự thiên vị trong bài kiểm tra các khu vực đuôi bằng nhau và cách nó phát sinh:

Tại các giá trị của $\sigma$ hơn một chút $\sigma_0$ xác suất tăng của số liệu thống kê kiểm tra 'rơi vào từ chối từ chối đuôi trên không bù cho xác suất giảm của nó rơi ở vùng loại bỏ đuôi thấp & sức mạnh của phép thử giảm xuống dưới kích thước của nó.

Không thiên vị là tốt; nhưng không phải là hiển nhiên rằng có một công suất thấp hơn một chút so với kích thước trong một vùng nhỏ của không gian tham số trong phương án thay thế là rất tệ khi loại trừ hoàn toàn thử nghiệm.

Hai trong số các thử nghiệm hai đuôi ở trên trùng khớp (đối với trường hợp này, không nói chung):

LRT là UMP trong số các thử nghiệm không thiên vị. Trong trường hợp điều này không đúng, LRT vẫn có thể không thiên vị.

Tôi nghĩ rằng tất cả, ngay cả các thử nghiệm một đầu, đều được chấp nhận, nghĩa là không có thử nghiệm nào mạnh hơn hoặc mạnh hơn trong tất cả các lựa chọn thay thế. Bạn có thể làm cho thử nghiệm mạnh hơn đối với các lựa chọn thay thế theo một hướng chỉ bằng cách làm cho nó kém mạnh hơn so với các lựa chọn khác phương hướng. Khi kích thước mẫu tăng lên, phân phối chi bình phương trở nên ngày càng cân xứng hơn, và tất cả các thử nghiệm hai đuôi sẽ kết thúc giống nhau (một lý do khác để sử dụng thử nghiệm có đuôi dễ dàng).

Với giả thuyết null tổng hợp, các đối số trở nên phức tạp hơn một chút, nhưng tôi nghĩ bạn có thể nhận được kết quả thực tế tương tự, với những thay đổi thích hợp. Lưu ý rằng một nhưng không phải là một trong các thử nghiệm một đuôi là UMP!

In this case, with the alternative being a bilateral composite hypothesis there's usually no UMP test.

Tôi không chắc chắn nếu đó là sự thật nói chung. Chắc chắn, rất nhiều kết quả cổ điển (Neymon-Pearson, Karlin-Rubin) dựa trên giả thuyết đơn giản hoặc một phía, nhưng tồn tại khái quát cho giả thuyết tổng hợp hai mặt. Bạn có thể tìm thấy một số ghi chú về điều đó ở đây , và thảo luận thêm trong sách giáo khoa ở đây .

Đối với vấn đề của bạn cụ thể, tôi không biết liệu thử nghiệm UMP có tồn tại hay không. Nhưng theo trực giác, dường như là thua 0-1, một bài kiểm tra một phía có thể sẽ không được chấp nhận, và do đó, lớp kiểm tra được chấp nhận sẽ là tất cả các bài kiểm tra hai mặt. Cung cấp cho lớp các bài kiểm tra hai mặt, mục tiêu là tìm ra bài kiểm tra có sức mạnh lớn nhất, điều này sẽ tự động xảy ra bằng cách chọn các lượng tử xung quanh một chế độ của$\chi^2$. (Đây là tất cả dựa trên trực giác).