Quy luật tổng thể triển khai / quy tắc tháp: Tại sao cả hai biến ngẫu nhiên phải đến từ cùng một không gian xác suất?

Tôi trích dẫn (nhấn mạnh của tôi) từ định nghĩa wikipedia :

Mệnh đề trong lý thuyết xác suất được gọi là định luật tổng kỳ vọng, ..., nói rằng nếu X là biến ngẫu nhiên có thể tích hợp (nghĩa là biến ngẫu nhiên thỏa mãn E (| X |) <∞) và Y là bất kỳ biến ngẫu nhiên nào, không phải nhất thiết có thể tích hợp, trên cùng một không gian xác suất , sau đó
$E (X) = E (E (X ∣ Y))$ $\operatorname{E}(X) = \operatorname{E} ( \operatorname{E} ( X \mid Y))$

Tôi không hiểu ý nghĩa của chúng trong cùng một không gian xác suất và không biết tại sao đây là một phần quan trọng của định nghĩa. Lấy ví dụ tiếp tục xuống trên trang:

Giả sử rằng hai nhà máy cung cấp bóng đèn cho thị trường. Bóng đèn của Factory X hoạt động trung bình 5000 giờ, trong khi bóng đèn của nhà máy Y hoạt động trung bình 4000 giờ. Được biết, nhà máy X cung cấp 60% tổng số bóng đèn có sẵn. Khoảng thời gian dự kiến mà một bóng đèn được mua sẽ hoạt động là bao nhiêu?

Các biến ngẫu nhiên ở đây dường như là:

Lượng thời gian một bóng đèn kéo dài.
Mà nhà máy một bóng đèn đến từ.

Làm thế nào hai có thể có cùng một không gian xác suất?

probability expected-value conditional-expectation

— Alex
nguồn

Làm thế nào để bạn có ý nghĩa của nếu các biến ngẫu nhiên được xác định trên các không gian xác suất khác nhau?

E (X | Y)

$E(X|Y)$

— whuber

Tôi không biết, tôi nghi ngờ bằng trực giác? Đưa ra ở đây tôi biết và , tôi không thấy có ý nghĩa gì?

E (T | F = X) = 5000

$\operatorname{E}(T | F = X) = 5000$

E (T | F = Y) = 4000

$\operatorname{E}(T | F = Y) = 4000$

— Alex

Có lẽ câu hỏi này thực sự sẽ phù hợp với math.stackexchange hơn, vì nó có phần lý thuyết xác suất?

— Dean Gurvitz

Tôi không hiểu ý nghĩa của chúng trong cùng một không gian xác suất

Đó chính là vấn đề.

Cách tiêu chuẩn để nghĩ về các đối tượng của lý thuyết xác suất (biến ngẫu nhiên, phân phối, v.v.) là thông qua các tiên đề của Kolmogorov . Các tiên đề này được đóng khung trong ngôn ngữ của lý thuyết đo lường , nhưng hoàn toàn có thể hiểu các trường hợp đơn giản mà không cần bất kỳ lý thuyết đo lường nào.

Về cơ bản, một mô hình xác suất bao gồm ba điều: một tập hợp , có các yếu tố riêng lẻ mà bạn có thể nghĩ là tóm tắt "trạng thái thực của thế giới" (hoặc ít nhất là tất cả những gì bạn cần biết về nó); một bộ sưu tập các tập hợp con của (có các phần tử là các sự kiện có thể có xác suất bạn cần đo); và thước đo xác suất , là hàm lấy sự kiện và tạo ra một số (có giải thích là xác suất xảy ra sự kiện ). Bộ ba được gọi là không gian xác suất $\Omega$ $\mathcal{F}$ $\Omega$ $P$ $E \in \mathcal{F}$ $P(E) \in [0, 1]$ $E$ $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ miễn là nó thỏa mãn một số tính chất tự nhiên nhất định (ví dụ: xác suất kết hợp nhiều sự kiện rời rạc là tổng xác suất của chúng).

Trong khung này, một biến ngẫu nhiên là một hàm từ đến . Trong ví dụ của bạn, chúng tôi có hai biến ngẫu nhiên: (lượng thời gian một bóng đèn kéo dài) và (nhà máy sản xuất một bóng đèn đến từ đâu). $X$ $\Omega$ $\mathbb{R}$ $T$ $F$

Làm thế nào hai có thể có cùng một không gian xác suất?

Câu hỏi bây giờ là: làm thế nào để chúng ta xác định một không gian xác suất và các hàm theo cách để mô hình hóa vấn đề theo Sự xem xét. Có nhiều cách, nhưng một cách đơn giản là để . Một phần tử chỉ định một bóng đèn cụ thể (không ngẫu nhiên) từ nhà máy sẽ tồn tại trong thời gian . Sau đó, chúng tôi sẽ xác định và . Sự phân bố chung của sau đó được xác định bằng cách xác định và . $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ $T, F : \Omega \to \mathbb{R}$ $\Omega = \{ (f, t) : f = 0, 1, t > 0 \}$ $(f, t) \in \Omega$ $f$ $t$ $T(f, t) = t$ $F(f, t) = f$ $(T, F)$ $\mathcal{F}$ $P$

Tôi không hiểu ... tại sao đây là một phần quan trọng của định nghĩa

Kỳ vọng có điều kiện của một biến ngẫu nhiên được cung cấp một biến ngẫu nhiên được xác định là một loại biến ngẫu nhiên quy định các thuộc tính nhất định. Bạn có thể tìm thấy định nghĩa chính thức ở đây , tuy nhiên nó có vẻ khá phức tạp nếu bạn không quen với xác suất lý thuyết đo lường. Về cơ bản, định nghĩa này không có nghĩa nếu và không được xác định trên cùng một không gian xác suất. Cuối cùng, mặc dù, thường không có vấn đề gì khi xác định hai biến ngẫu nhiên trên một không gian xác suất chung, vì vậy điều kiện này tương đương với tính kỹ thuật. $E[X \mid Y]$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

— Bến
nguồn

Từ câu trả lời của bạn, có vẻ như trong trường hợp ngây thơ, có thể đếm được của các hàm khối xác suất, v.v. ', yêu cầu cả hai biến là từ cùng một không gian xác suất thực sự không cần thiết. Định nghĩa bạn đưa ra về một không gian xác suất trong đó các sự kiện thực sự là các cặp số lượng dường như khá gượng ép trong trường hợp như vậy.

— Dean Gurvitz