Cách dễ dàng hơn để tìm ?

Hãy xem xét 3 mẫu iid được rút ra từ phân phối đồng đều , trong đó là tham số. Tôi muốn tìm trong đó là thống kê thứ tự .θ E [ X ( 2 ) | X ( 1 ) , X ( 3 ) ] X ( i )$u(\theta, 2\theta)$$\theta$

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right]$$ $X_{(i)}$$i$

Tôi hy vọng kết quả sẽ là Nhưng cách duy nhất tôi có thể hiển thị kết quả này dường như là quá dài dòng, tôi không thể đưa ra giải pháp đơn giản, tôi có thiếu thứ gì không, có phím tắt nào không?

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \frac{X_{(1)}+ X_{(3)}}{2}$$

---

Những gì tôi làm là như sau:

• Tôi tìm thấy mật độ có điều kiện

  $$f(x_{(2)}| x_{(1)}, x_{(3)}) = \frac{ f(x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)})}{f(x_{(1)}, x_{(3)})}$$

• Tôi hòa nhập

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)}, X_{(3)}\right] = \int x f(x| x_{(1)}, x_{(3)}) dx$$

---

Chi tiết:

Tôi áp dụng công thức chung cho mật độ thống kê đơn hàng (với một chỉ số của tập )$\mathbb{I}_{\{A\}}$$A$

$$f_{x_{(1)},\ldots , x_{(n)}}(x_1,\cdots, x_n) = n! \prod_{i=1}^n f_{x}(x_i)\mathbb{I}_{\{x_{(1)} \leq x_{(2)} \leq \cdots \leq x_{(n)}\}}(x_1,\cdots, x_n)$$

để có được cho trường hợp của tôi

$$f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(x_1, x_2, x_3) = 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n\}}(x_1,\cdots, x_3)$$

cận biên của là$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v)$

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int f_{x_{(1)}, x_{(2)}, x_{(3)}}(u, x_2, v) dx_2$$

đó là

$$f_{x_{(1)}, x_{(3)}}(u, v) = \int 3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{\{x_1 = u \leq x_2 \leq x_3 = v\}}(u, x, v) dx = 3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]$$

do đó

$$f(x_{(2)}| x_{(2)} = u, x_{(3)} = v) = \frac{ f(x_{(1)} = u, x_{(2)}, x_{(3)} = v)}{f(x_{(1)}= u, x_{(3)} = v)} = \frac{3!\frac{1}{\theta^3}\mathbb{I}_{u \leq x_2 \leq \cdots \leq v}(u,x_2, v) }{3!\frac{1}{\theta^3} [v-u]}= [v-u]^{-1}\mathbb{I}_{\{u<x_2<v\}}$$

cái nào cho

$$\mathbb{E}\left[X_{(2)}| X_{(1)} = u, X_{(3)} = v\right] = [v-u]^{-1}\int_{u}^{v} x dx = [v-u]^{-1}\frac{ [v^2 - u^2]}{2} = \frac{u+v}{2}$$

Bởi vì tất cả đều có phân phối đồng đều, tất cả các biến (không có thứ tự) được giả định độc lập và không có thống kê thứ tự nào khác nằm giữa và , có phân phối thống nhất cắt ngắn được hỗ trợ trên khoảng . Ý nghĩa của nó rõ ràng là , QED.X ( 1 ) X ( 3 )$X_i$$X_{(1)}$$X_{(3)}$ $X_{(2)}$$[X_{(1)}, X_{(3)}]$$(X_{(1)}+X_{(3)})/2$

---

Nếu bạn muốn một cuộc biểu tình chính thức, lưu ý rằng khi là iid với phân phối liên tục tuyệt đối , mật độ có điều kiện của (có điều kiện trên tất cả các thống kê đơn hàng khác) là , đó là phân phối cắt ngắn. (Khi , được lấy là ; và khi , được lấy là ) Điều này diễn ra từ phần pdf của các hàm theo thứ tự thống kê , ví dụ, cùng với định nghĩa về mật độ có điều kiện. F X ( k ) d F ( x k ) / ( F ( x ( k + 1 ) ) - F ( x ( k - 1 ) ) ) k = 1 F ( x 0 ) 0 k = n F ( x n + 1 ) $X_i$$F$$X_{(k)}$$dF(x_k)/(F(x_{(k+1)}) - F(x_{(k-1)}))$$k=1$$F(x_{0})$$0$$k=n$$F(x_{n+1})$$1$