Trực giác cho Conditional vọng của

Hãy $(\Omega,\mathscr{F},\mu)$ là một không gian xác suất, cho một biến ngẫu nhiên $\xi:\Omega \to \mathbb{R}$ và một $\sigma$ -algebra $\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}$ chúng ta có thể xây dựng một biến ngẫu nhiên mới $E[\xi|\mathscr{G}]$ , đó là kỳ vọng có điều kiện.

Chính xác là trực giác cho suy nghĩ về $E[\xi|\mathscr{G}]$ ? Tôi hiểu trực giác cho những điều sau đây:

(i) $E[\xi|A]$ trong đó $A$ là một sự kiện (có xác suất dương).

(ii) $E[\xi|\eta]$ trong đó $\eta$ là một biến ngẫu nhiên rời rạc.

Nhưng tôi không thể hình dung $E[\xi|\mathscr{G}]$ . Tôi hiểu toán học của nó, và tôi hiểu rằng nó được định nghĩa theo cách để khái quát hóa các trường hợp đơn giản hơn mà chúng ta có thể hình dung. Nhưng dù sao tôi không thấy cách nghĩ này là hữu ích. Nó vẫn là một đối tượng bí ẩn đối với tôi.

Ví dụ: Đặt $A$ là một sự kiện có $\mu(A)>0$ . Hình thành $\sigma$ -algebra $\mathscr{G} = \{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$ , là tạo ra bởi $A$ . Thì $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ sẽ bằng $\frac{1}{\mu(A)} \int_A \xi$nếu$\omega \in A$, và tương đương với$\frac{1}{\mu(A^c)} \int_{A^c} \xi$nếu$\omega \not \in A$. Nói cách khác,$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A]$nếu$\omega\in A$và$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|A^c]$nếu$\omega \in A^c$.

Phần đó là khó hiểu là $\omega \in \Omega$ , vậy tại sao chúng ta không chỉ cần viết $E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = E[\xi|\Omega] = E[\xi]$ ? Tại sao chúng ta thay thế $E[\xi|\mathscr{G}]$ bởi $E[\xi| A\text{ or } A^c]$ tùy thuộc vào việc hay không $\omega\in A$ , nhưng không được phép thay thế $E[\xi|\mathscr{G}]$ bởi$E[\xi]$ ?

Ghi chú. Khi trả lời câu hỏi này, không giải thích điều này bằng cách sử dụng định nghĩa khắt khe về kỳ vọng có điều kiện. Tôi hiểu điều đó. Điều tôi muốn hiểu là những gì kỳ vọng có điều kiện được cho là tính toán và tại sao chúng ta từ chối cái này thay cho cái khác.

Một cách để suy nghĩ về đại diện có điều kiện là chẳng khác gì dự vào -algebra G .$\sigma$$\mathscr{G}$

( từ Wikimedia commons )

Điều này thực sự đúng khi nói về các biến ngẫu nhiên có thể tích hợp vuông; trong trường hợp này thực sự là chiếu trực giao của biến ngẫu nhiên ξ vào không gian con của L 2 ( Ω ) bao gồm các biến ngẫu nhiên đo lường đối với với G . Và trên thực tế, điều này thậm chí hóa ra là đúng theo một nghĩa nào đó đối với các biến ngẫu nhiên L 1 thông qua xấp xỉ bởi các biến ngẫu nhiên L 2 .$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\xi$$L^2(\Omega)$$\mathscr{G}$$L^1$$L^2$

(Xem các bình luận để tham khảo.)

Nếu ta xem xét đại số như đại diện cho bao nhiêu thông tin chúng tôi có sẵn (một giải thích đó là de rigueur trong lý thuyết của các quá trình ngẫu nhiên), sau đó lớn hơn σ - đại số là các tai biến có thể hơn và do đó có thêm thông tin về kết quả tốt, trong khi nhỏ σ - đại số có nghĩa là ít sự kiện có thể hơn và do đó ít thông tin hơn về kết quả có thể xảy ra.$\sigma-$$\sigma-$$\sigma-$

Do đó, chiếu -measurable biến ngẫu nhiên ξ vào nhỏ hơn σ - đại số G phương tiện tham gia đoán tốt nhất của chúng tôi cho giá trị của ξ đưa các thông tin hạn chế hơn có sẵn từ G .$\mathscr{F}$$\xi$$\sigma-$$\mathscr{G}$$\xi$$\mathscr{G}$

Nói cách khác, đưa ra chỉ thông tin từ , và không phải là toàn bộ thông tin từ F , E [ ξ | G ] theo nghĩa chặt chẽ là dự đoán tốt nhất của chúng tôi về biến ngẫu nhiên ξ là gì.$\mathscr{G}$$\mathscr{F}$$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\xi$

Liên quan đến ví dụ của bạn, tôi nghĩ rằng bạn có thể nhầm lẫn các biến ngẫu nhiên và giá trị của chúng. Một biến ngẫu nhiên là một hàm có miền là không gian sự kiện; nó không phải là một con số Nói cách khác, X : Ohm → R , X ∈ { f | f : Ohm → R } trong khi cho một ω ∈ Ohm , X ( ω ) ∈ R .$X$$X: \Omega \to \mathbb{R}$$X \in \{f\ |\ f: \Omega \to \mathbb{R} \}$$\omega \in \Omega$$X(\omega)\in\mathbb{R}$

Theo tôi, ký hiệu cho kỳ vọng có điều kiện là rất tệ, bởi vì bản thân nó là một biến ngẫu nhiên, tức là cũng là một hàm . Ngược lại, kỳ vọng (thường xuyên) của một biến ngẫu nhiên là một số . Kỳ vọng có điều kiện của một biến ngẫu nhiên là một đại lượng hoàn toàn khác với kỳ vọng của cùng một biến ngẫu nhiên, nghĩa là không thậm chí là "loại kiểm tra" với E [ ξ ] .$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\mathbb{E}[\xi]$

Nói cách khác, sử dụng ký hiệu để biểu thị cả kỳ vọng thường xuyên và có điều kiện là một sự lạm dụng ký hiệu rất lớn, dẫn đến nhiều nhầm lẫn không cần thiết.$\mathbb{E}$

Tất cả điều đó đang được nói, lưu ý rằng là một con số (giá trị của biến ngẫu nhiên E [ ξ | G ] được đánh giá theo giá trị ω ), nhưng E [ ξ | Ω ] là một biến ngẫu nhiên, nhưng nó hóa ra là một biến ngẫu nhiên liên tục (tức là thoái hóa tầm thường), bởi vì σ -algebra tạo ra bởi Ω , { ∅ , Ω $\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}](\omega)$$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\omega$$\mathbb{E}[\xi|\Omega]$$\sigma$$\Omega$$\{ \emptyset, \Omega\}$là tầm thường / thoái hóa, và sau đó nói về mặt kỹ thuật các giá trị không đổi của biến ngẫu nhiên liên tục này, là , nơi đây E biểu thị mong muốn thường xuyên và do đó một số, kỳ vọng không có điều kiện và do đó không phải là một biến ngẫu nhiên.$\mathbb{E}[\xi]$$\mathbb{E}$

Ngoài ra, bạn dường như bối rối về những gì ký hiệu có nghĩa là; Nói về mặt kỹ thuật nó chỉ có thể tình trạng trên σ - đại số, không phải trên sự kiện cá nhân, vì các biện pháp xác suất được chỉ định trên hoàn toàn σ - đại số, không phải trên sự kiện cá nhân. Như vậy, E [ ξ | Một ] chỉ là (lười biếng) viết tắt cho E [ ξ | σ ( A ) ] , nơi σ ( A ) là viết tắt của các σ $\mathbb{E}[\xi|A]$$\sigma-$$\sigma-$$\mathbb{E}[\xi|A]$$\mathbb{E}[\xi|\sigma(A)]$$\sigma(A)$$\sigma-$đại số được tạo ra bởi sự kiện , đó là { ∅ , Một , Một c , Ω } . Lưu ý rằng σ ( A ) = G = σ ( A c ) ; nói cách khác, E [ ξ | Một ] , E [ ξ | G ] , và E [ ξ | Một c ] là tất cả các cách khác nhau để biểu thị chính xác cùng một đối tượng .$A$$\{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$\sigma(A) = \mathscr{G} = \sigma(A^c)$$\mathbb{E}[\xi|A]$$\mathbb{E}[\xi|\mathscr{G}]$$\mathbb{E}[\xi|A^c]$

Cuối cùng tôi chỉ muốn nói thêm rằng lời giải thích trực quan tôi đã ở trên giải thích tại sao giá trị không đổi của biến ngẫu nhiên là chỉ số E [ ξ ] - các σ - đại số { ∅ , Ω $\mathbb{E}[\xi|\Omega]=\mathbb{E}[\xi|\sigma(\Omega)]= \mathbb{E}[\xi| \{ \emptyset, \Omega\}]$$\mathbb{E}[\xi]$$\sigma-$$\{ \emptyset, \Omega\}$đại diện cho số tiền ít nhất có thể có của thông tin chúng tôi có thể có, trên thực tế về cơ bản không có thông tin, vì vậy dưới cùng cực này hoàn cảnh đoán tốt nhất có thể, chúng tôi có thể có mà ngẫu nhiên biến là là biến ngẫu nhiên liên tục có giá trị không đổi là E [ ξ ] .$\xi$$\mathbb{E}[\xi]$

Lưu ý rằng tất cả các biến ngẫu nhiên liên tục là biến ngẫu nhiên, và tất cả chúng đều có thể đo lường đối với tầm thường với σ -algebra { ∅ , Ω } , vì vậy thực sự chúng tôi có mà ngẫu nhiên liên tục E [ ξ ] là chiếu trực giao của ξ vào không gian con của L 2 ( Ω ) bao gồm các biến ngẫu nhiên có thể đo được đối với { ∅ , Ω } , như đã được yêu cầu.$L^2$$\sigma$$\{\emptyset, \Omega\}$$\mathbb{E}[\xi]$$\xi$$L^2(\Omega)$$\{\emptyset, \Omega\}$

Tôi sẽ cố gắng xây dựng những gì William đề nghị.

Hãy là không gian mẫu của tung một đồng xu hai lần. Xác định chạy. var. ξ là num. của những cái đầu xảy ra trong thí nghiệm. Rõ ràng, E [ ξ ] = 1 . Một cách nghĩ về những gì 1 , như một expec. giá trị, đại diện là ước tính tốt nhất có thể cho ξ . Nếu chúng ta đã phải mất một đoán cho những gì giá trị ξ sẽ mất, chúng ta sẽ đoán 1 . Điều này là do E [ ( ξ - 1 ) 2 ] ≤ E [ ( ξ - a ) $\Omega$$\xi$$E[\xi] = 1$$1$$\xi$$\xi$$1$ cho bất kỳ số thực a .$E[(\xi - 1)^2] \leq E[(\xi - a)^2]$$a$

Suy ra bởi là sự kiện mà kết quả đầu tiên là một cái đầu. Hãy G = { ∅ , Một , Một c , Ω } là σ -alg. gen. bởi Một . Chúng tôi nghĩ về G như đại diện cho những gì chúng tôi biết sau lần ném đầu tiên. Sau lần ném đầu tiên, một trong hai đầu xảy ra hoặc các đầu không xảy ra. Do đó, chúng ta hoặc trong trường hợp A hoặc A c sau lần ném đầu tiên.$A = \{ HT, HH \}$$\mathscr{G} = \{ \emptyset, A, A^c, \Omega\}$$\sigma$$A$$\mathscr{G}$$A$$A^c$

Nếu chúng ta trong trường hợp , sau đó ước tính tốt nhất có thể cho ξ sẽ là E [ ξ | Một ] = 1,5 , và nếu chúng ta trong trường hợp A c , sau đó ước tính tốt nhất có thể cho ξ sẽ là E [ ξ | Một c ] = 0,5 .$A$$\xi$$E[\xi|A] = 1.5$$A^c$$\xi$$E[\xi|A^c] = 0.5$

Bây giờ xác định chạy. var. là một trong hai 1,5 hoặc 0,5 tùy thuộc vào việc hay không ω ∈ A . Cái này chạy. var. η , là một xấp xỉ tốt hơn so với 1 = E [ ξ ] từ E [ ( ξ - η ) 2 ] ≤ E [ ( ξ - 1 ) 2 ] .$\eta(\omega)$$1.5$$0.5$$\omega\in A$$\eta$$1 = E[\xi]$$E[(\xi - \eta)^2] \leq E[(\xi -1)^2]$

Những gì đang làm là cung cấp câu trả lời cho câu hỏi: ước tính tốt nhất của ξ sau lần ném đầu tiên là gì? Vì chúng ta không biết những thông tin sau khi tung đầu tiên, η sẽ phụ thuộc vào Một . Khi sự kiện G được tiết lộ cho chúng tôi, sau khi tung đầu tiên, giá trị của η được xác định và cung cấp các ước tính tốt nhất có thể cho ξ . $\eta$$\xi$$\eta$$A$$\mathscr{G}$$\eta$$\xi$

Vấn đề với việc sử dụng như ước tính riêng của mình, tức là 0 = E [ ( ξ - ξ ) 2 ] ≤ E [ ( ξ - η ) 2 ] như sau. ξ không được xác định rõ sau khi tung đầu tiên. Giả sử kết quả của thí nghiệm là ω với kết quả đầu tiên là người đứng đầu, chúng tôi đang trong sự kiện Một , nhưng là những gì ξ ( ω ) = ? Chúng tôi không biết từ chỉ tung đầu tiên, rằng giá trị là mơ hồ đối với chúng ta, và do đó $\xi$$0=E[(\xi - \xi)^2] \leq E[(\xi - \eta)^2]$$\xi$$\omega$$A$$\xi(\omega)=?$$\xi$không được xác định rõ. Chính thức hơn, chúng ta nói rằng không phải là G -measurable tức là giá trị của nó không rõ ràng sau khi tung đầu tiên. Do đó, η là ước lượng tốt nhất có thể của ξ sau khi tung đầu tiên.$\xi$$\mathscr{G}$$\eta$$\xi$

Có lẽ, ai đó ở đây có thể đưa ra một ví dụ phức tạp hơn bằng cách sử dụng không gian mẫu , với ξ ( ω ) = ω , và G số không tầm thường σ -algebra.$[0,1]$$\xi (\omega) = \omega$$\mathscr{G}$$\sigma$

Mặc dù bạn yêu cầu không sử dụng định nghĩa chính thức, tôi nghĩ rằng định nghĩa chính thức có lẽ là cách tốt nhất để giải thích nó.

Wikipedia - kỳ vọng có điều kiện :

Khi đó, một kỳ vọng có điều kiện của X đã cho , ký hiệu là E ( X ∣ H ) , là bất kỳ hàm H có thể đo được ( Ω → R n ) nào thỏa mãn:$\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$$\displaystyle \scriptstyle \operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})$$\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$$\displaystyle \scriptstyle \Omega \to \mathbb {R} ^{n}$

$\displaystyle \int _{H}\operatorname {E} (X\mid {\mathcal {H}})\;dP=\int _{H}X\;dP\qquad {\text{for each}}\quad H\in {\mathcal {H}}$

Thứ nhất, nó là một chức năng -measurable. Thứ hai nó phải phù hợp với kỳ vọng trên mỗi (sub) bộ đo lường trong H . Vì vậy, cho một sự kiện, A, đại số sigma là { A , A C , ∅ , Ω } , vì vậy rõ ràng nó được thiết lập như bạn nêu trong câu hỏi của bạn cho w ∈ A / Một c . Tương tự như vậy đối với bất kỳ biến ngẫu nhiên rời rạc nào (và sự kết hợp của chúng), chúng tôi liệt kê ra tất cả các sự kiện nguyên thủy và gán kỳ vọng cho sự kiện nguyên thủy đó.$\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$$\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {H}}$$\{A,A^C,\emptyset, \Omega\}$$\omega \in A/A^c$

Bây giờ xem xét tung một đồng xu vô số lần, nơi ở mỗi quăng tôi, bạn sẽ có được , nếu đồng xu của bạn là đuôi thì tổng tiền thắng cược của bạn là X = Σ ∞ i = 1$1/2^i$trong đóci= 1 cho đuôi và 0 cho đầu. Thì X là biến ngẫu nhiên thực trên[0,1]. Sau khi tung đồng xu n, bạn biết giá trị của X để có độ chính xác1/2n, ví dụ như sau khi 2 đồng xu quăng nó là trong [0,1 / 4], [1 / 4,1 / 2], [1 / 2,3 / 4] hoặc [3 / 4,1] - sau mỗi lần tung đồng xu, đại số sigma liên quan của bạn sẽ ngày càng tốt hơn và tương tự, kỳ vọng có điều kiện của X ngày càng chính xác hơn.$X=\sum _{i=1}^\infty \frac{1}{2^i}c_i$$c_i$$[0,1]$$1/2^n$

Hy vọng ví dụ này về một biến ngẫu nhiên có giá trị thực sự với một chuỗi các đại số sigma ngày càng hoàn thiện hơn (Lọc) giúp bạn thoát khỏi trực giác hoàn toàn dựa trên sự kiện mà bạn đã quen và làm rõ mục đích của nó.