Sự khác biệt giữa hồi quy beta và quasi glm với phương sai = gì?

Đầu tiên hãy để tôi đưa ra một số nền tảng; Tôi sẽ tóm tắt câu hỏi của tôi ở cuối.

Phân phối Beta, được tham số hóa bằng trung bình và , có , trong đó là hàm phương sai.φ Var ( Y ) = V ( μ ) / ( φ + 1 ) V ( μ ) = μ ( 1 - μ $\mu$$\phi$$\operatorname{Var}(Y) = \operatorname{V}(\mu)/(\phi+1)$$\operatorname{V}(\mu) = \mu(1-\mu)$

Trong hồi quy beta (ví dụ: sử dụng gói betareg trong R), hồi quy giả định các lỗi phân phối beta và ước tính các hiệu ứng cố định và giá trị của .$\phi$

Trong hồi quy glm, có thể định nghĩa phân phối "gần đúng" với hàm phương sai là . Vì vậy, ở đây mô hình giả định các lỗi có chức năng phương sai tương tự như Beta. Hồi quy sau đó ước tính các hiệu ứng cố định và "độ phân tán" của phân phối gần đúng.$\mu(1-\mu)$

Tôi có thể thiếu một cái gì đó quan trọng, nhưng dường như hai phương pháp này về cơ bản là giống hệt nhau, có lẽ chỉ khác nhau trong phương pháp ước tính của chúng.

Tôi đã thử cả hai phương pháp trong R, hồi quy trên một DV gọi là "Tương tự", nằm trong khoảng :$(0,1)$

Call:
betareg(formula = Similarity ~ N + NK + Step_ent, data = TapData, link = "logit")

Coefficients (mean model with logit link):
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept)  0.715175   0.067805  10.547   <2e-16 ***
N           -0.063806   0.003858 -16.537   <2e-16 ***
NK          -0.362716   0.015008 -24.168   <2e-16 ***
Step_ent    -0.696895   0.070233  -9.923   <2e-16 ***

Phi coefficients (precision model with identity link):
      Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(phi)  10.6201     0.2084   50.96   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1 

Type of estimator: ML (maximum likelihood)
Log-likelihood:  3817 on 5 Df
Pseudo R-squared: 0.2633
Number of iterations: 18 (BFGS) + 1 (Fisher scoring) 


Call:
glm(formula = Similarity ~ N + NK + Step_ent, family = quasi(link = "logit", 
variance = "mu(1-mu)"), data = TapData)

Coefficients:
             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  0.777451   0.069809  11.137   <2e-16 ***
N           -0.069348   0.003983 -17.411   <2e-16 ***
NK          -0.364702   0.016232 -22.468   <2e-16 ***
Step_ent    -0.704680   0.072491  -9.721   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

(Dispersion parameter for quasi family taken to be 0.0838547)

    Null deviance: 566.25  on 4974  degrees of freedom
Residual deviance: 422.76  on 4971  degrees of freedom
AIC: NA

Number of Fisher Scoring iterations: 4

Các hệ số của hai mô hình là tương tự nhau, như là các lỗi tiêu chuẩn của chúng. Các tham số cũng tương tự: Tôi cho rằng các tham số phân tán (theo báo cáo của GLM) và có mối quan hệ sau , trong trường hợp họ là 10,6201 và 10,9254, tương ứng .φ φ = 1 / Dispersion - $\phi$$\phi$$\phi = 1/\text{Dispersion} - 1$

Tuy nhiên, không có giá trị nào trong số này là giống hệt nhau.

Đây có phải là vì điều duy nhất thực sự khác biệt trong hai phương pháp là thủ tục ước tính của chúng? Hoặc có một số khác biệt cơ bản hơn tôi đang thiếu? Ngoài ra, có lý do nào để thích một phương pháp hơn phương pháp kia không?

Bạn đã đúng rằng các hàm trung bình và phương sai có cùng dạng.

Điều này cho thấy rằng trong các mẫu rất lớn, miễn là bạn không có các quan sát thực sự gần với 1 hoặc 0, họ sẽ có xu hướng đưa ra các câu trả lời khá giống nhau vì trong các quan sát tình huống đó sẽ có trọng số tương đối giống nhau.

Nhưng trong các mẫu nhỏ hơn, trong đó một số tỷ lệ liên tục tiếp cận giới hạn, sự khác biệt có thể tăng lên lớn hơn vì các trọng số tương đối được đưa ra bởi hai phương pháp sẽ khác nhau; nếu các điểm có trọng lượng khác nhau cũng có ảnh hưởng tương đối (cực đoan hơn trong không gian x), thì trong một số trường hợp, sự khác biệt có thể trở nên đáng kể.

Trong hồi quy beta, bạn sẽ ước tính thông qua ML và trong trường hợp mô hình quasibinomial - ít nhất một ước tính trong R, lưu ý nhận xét này trong trợ giúp:

Các họ quasibinomial và quasipoisson khác với các họ nhị thức và poisson chỉ ở chỗ tham số phân tán không cố định tại một, vì vậy chúng có thể mô hình phân tán quá mức. Đối với trường hợp nhị thức, xem McCullagh và Nelder (1989, trang 124 Tiếng8). Mặc dù chúng cho thấy rằng (trong một số hạn chế) một mô hình có phương sai tỷ lệ thuận với ý nghĩa như trong mô hình nhị phân, lưu ý rằng glm không tính toán các ước tính khả năng tối đa trong mô hình đó. Hành vi của S gần với các biến thể gần đúng hơn.

$h_{ii}$

Lưu ý rằng họa tiết betareg đưa ra một số thảo luận về kết nối giữa các mô hình này ở cuối phần 2.