Tính toán kỳ vọng có điều kiện vào -achebras

Tôi chưa thực sự thấy bất kỳ cuốn sách xác suất nào tính toán kỳ vọng có điều kiện, ngoại trừ -achebras được tạo bởi một biến ngẫu nhiên rời rạc. Họ chỉ đơn giản nêu ra sự tồn tại của kỳ vọng có điều kiện, cùng với các thuộc tính của nó và để nó ở đó. Tôi thấy điều này hơi khó chịu và đang cố gắng tìm một phương pháp để tính toán nó. Đây là những gì tôi nghĩ rằng nó "nên được". $\sigma$

Đặt là không gian xác suất với a - . Đặt là một biến ngẫu nhiên. Mục tiêu của chúng tôi là tính toán . $(\Omega, \mathscr{F},\mu)$ $\mathscr{G}\subseteq \mathscr{F}$ $\sigma$ $\xi:\Omega\to \mathbb{R}$ $E[\xi|\mathscr{G}]$

Khắc phục , chúng tôi cần tính toán . Hãy được như vậy . Trực giác nói rằng là một giá trị gần đúng với giá trị của , được cung cấp tất nhiên that mà bây giờ chúng ta giả sử. $\omega\in \Omega$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $A\in \mathscr{G}$ $\omega\in A$ $E[\xi|A] = \frac1{\mu(A)}\int_A \xi$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $\mu(A) \not = 0$

Trực giác cũng nói rằng, nếu chúng ta có thể tìm thấy một sự kiện nhỏ hơn , với và , thì là một xấp xỉ tốt hơn của hơn . $B\subseteq A$ $\omega\in B$ $\mu(B) \not = 0$ $E[\xi|B]$ $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $E[\xi|A]$

Do đó, xấp xỉ tối ưu như vậy của phải là trong đó , với và với tài sản tối thiểu . Thuộc tính tối thiểu ở đây chỉ đơn giản là nếu với , sau đó . $E[\xi|\mathscr{G}](\omega)$ $E[\xi|M]$ $M\in \mathscr{G}$ $\omega\in M$ $A\in \mathscr{G}$ $\omega\in A$ $M\subseteq A$

Nhưng có hai vấn đề:

(i) Một như vậy thậm chí còn tồn tại? Nếu có thể đếm được nhiều nhất thì điều này là đúng. Vì vậy, chúng ta hãy giả sử rằng thực sự có thể đếm được. $M$ $\mathscr{G}$ $\mathscr{G}$

(ii) Điều gì xảy ra nếu , thì không xác định! Trong trường hợp này, chúng tôi sẽ giả sử rằng chúng tôi có thể tạo ra một chuỗi các sự kiện , sao cho và . $\mu(M) = 0$ $E[\xi|M]$ $M_n\in \mathscr{G}$ $M_n \downarrow M$ $\mu(M_n) > 0$

Trực giác nói rằng,

E [ξ | G] (ω) = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{M_{n}} ξ = lim_{n \to \infty} \frac{1}{μ (M_{n})} \int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}}

$E[\xi|\mathscr{G}](\omega) = \lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{M_n}\xi =\lim_{n\to \infty} \frac{1}{\mu(M_n)}\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n}$

Như một kiểm tra thực tế, Định lý hội tụ đơn điệu ngụ ý, liên tục trong số đo ngụ ý, Do đó, giới hạn của chúng tôi là ở dạng không xác định " ", trong đó là những gì chúng ta muốn.

\int_{Ω} ξ . 1_{M_{n}} \to \int_{Ω} ξ . 1_{M} = \int_{Ω} 0 = 0

$\int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M_n} \to \int_{\Omega} \xi.\mathbf{1}_{M} = \int_{\Omega} 0 = 0$

μ (M_{n}) \to μ (M) = 0

$\mu(M_n) \to \mu(M) = 0$

\frac{0}{0}

$\frac{0}{0}$

1) Tính toán này có tính toán chính xác kỳ vọng có điều kiện không?

2) một số giả định về không gian xác suất để giữ điều này là gì?

— Nicolas Bourbaki
nguồn

Ngoài ra: Đây là một định lý nổi tiếng rằng không có đại số sigma nào có thể đếm được, vì vậy (i) của bạn cần một số sửa đổi, vì về cơ bản nó giả định độ chính xác của.

| G |

$|\mathcal{G}|$

— Đức hồng y

@cardinal - đau khớp được tạo bởi một biến ngẫu nhiên đơn giản sẽ có thể đếm được.

σ

$\sigma$

— Nicolas Bourbaki

Hàm của một biến ngẫu nhiên đơn giản sẽ là hữu hạn, kết hợp với kết quả tôi đã đề cập ở trên, đơn giản hóa đáng kể (i) của bạn.

σ

$\sigma$

— Đức hồng y

Bạn nên nhìn vào nghịch lý Borel

— Kjetil b Halvorsen

Điều này không trả lời câu hỏi nhưng nó cung cấp một loại "ví dụ phản biện". Không hoàn toàn, nhưng nó giải quyết một vấn đề tiềm năng có thể xảy ra khi sử dụng trực giác của bạn để tính gần đúng điều kiện gần đúng.

Cuốn sách của Brezniak, "Các quá trình ngẫu nhiên cơ bản", tính toán bài tập kỳ vọng có điều kiện sau đây thông qua định nghĩa chính thức. Tôi làm lại ví dụ của anh ấy bằng cách sử dụng 'phương pháp gần đúng' như đã hỏi trong bài viết gốc.

Hãy xem xét ví dụ sau. với số đo Lebesgue tiêu chuẩn. $\Omega = [0,1]$ $\mu$

Xác định các biến ngẫu nhiên, và. Chúng tôi sẽ tính . Với , kỳ vọng có điều kiện phải bằng với . Tuy nhiên, sự kiện là tập hợp , có số đo bằng 0, và vì vậy không xác định. $\xi(\omega) = 2\omega^2$ $\eta(\omega) = 1 - |2\omega - 1|$ $E[\xi|\eta]$ $\omega\in \Omega$ $E[\xi|\eta](\omega)$ $E[\xi|\eta = \eta(\omega)]$ $(\eta = \eta(\omega))$ $\{ \omega,1-\omega\}$ $[\xi|\eta = \eta(\omega)]$

Vì vậy, chúng tôi sẽ tính gần đúng sự kiện . Chọn một nhỏ và xây dựng sự kiện . Các sự kiện gần đúng và tiếp cận trong giới hạn khi chúng ta thu nhỏ . Hơn nữa, . $A=\{\omega,1-\omega\}$ $\varepsilon > 0$ $A_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup \{ 1 - \omega \}$ $A_{\varepsilon}$ $A$ $A$ $\varepsilon$ $\mu(A_{\varepsilon}) = 2\varepsilon$

Chúng tôi tính toán, trong giới hạn, Nhưng đây là câu trả lời sai!

E [ξ | A_{ε}] = \frac{1}{2 ε} \int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t \to 2 ω^{2}

$E[\xi|A_{\varepsilon}] = \frac{1}{2\varepsilon} \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \to 2\omega^2$

Tuy nhiên , nếu chúng ta ước tính bằng thì, Đây là câu trả lời đúng! $B_{\varepsilon} = [\omega - \varepsilon,\omega + \varepsilon] \cup [1- \omega - \varepsilon,1-\omega + \varepsilon]$

E [ξ | B_{ε}] = \frac{1}{4 ε} {\int_{ω - ε}^{ω + ε} 2 t^{2} d t + \int_{1 - ω - ε}^{1 - ω + ε} 2 t^{2} d t} \to ω^{2} + (1 - ω)^{2}

$E[\xi|B_{\varepsilon}] = \frac{1}{4\varepsilon} \left\{ \int_{\omega - \varepsilon}^{\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt + \int_{1-\omega - \varepsilon}^{1-\omega + \varepsilon} 2t^2 ~ dt \right\} \to \omega^2 + (1-\omega)^2$

Tại sao một cách tiếp cận hoạt động và cách tiếp cận khác không? Rõ ràng, trong phép tính gần đúng đầu tiên, các tập gần đúng không thuộc về -đau khớp được tạo bởi . Trong phép tính gần đúng thứ hai, các tập gần đúng đã thuộc về . $A_{\omega}$ $\sigma$ $\xi$ $B_{\omega}$ $\sigma(\xi)$

— Nicolas Bourbaki
nguồn