Làm thế nào để giá trị mong đợi liên quan đến trung bình, trung bình, vv trong một phân phối không bình thường?

Làm thế nào để giá trị mong đợi của một biến ngẫu nhiên liên tục liên quan đến trung bình số học của nó, trung vị, v.v. trong một phân phối không bình thường (ví dụ: skew-normal)? Tôi quan tâm đến bất kỳ phân phối phổ biến / thú vị nào (ví dụ: log-normal, phân phối bi / đa phương thức đơn giản, bất cứ điều gì khác lạ và tuyệt vời).

Tôi đang tìm kiếm chủ yếu cho các câu trả lời định tính, nhưng bất kỳ câu trả lời định lượng hoặc công thức cũng được hoan nghênh. Tôi đặc biệt muốn thấy bất kỳ biểu diễn trực quan nào làm cho nó rõ ràng hơn.

(chuyển đổi một phần từ nhận xét hiện đã bị xóa của tôi ở trên)

Giá trị mong đợi và trung bình số học là chính xác cùng một điều. Trung vị có liên quan đến giá trị trung bình theo cách không tầm thường nhưng bạn có thể nói một vài điều về mối quan hệ của chúng:

• khi một phân bố đối xứng, giá trị trung bình và trung vị là như nhau

• khi một phân phối bị lệch, âm trung bình thường lớn hơn giá trị trung bình

• khi một phân phối bị lệch dương, trung bình thường nhỏ hơn giá trị trung bình

Có một mối quan hệ tốt đẹp giữa điều hòa, hình học và trung bình số học của biến ngẫu nhiên phân phối thông thường log . Để cho$X \sim \mathcal{LN}\left( \mu,\sigma^2 \right)$

• $\mathrm{HM}(X) = \mathrm{e}^{\mu - \frac{1}{2}\sigma^2}$ (trung bình hài hòa),
• $\mathrm{GM}(X) = \mathrm{e}^{\mu}$ (trung bình hình học),
• $\mathrm{AM}(X) = \mathrm{e}^{\mu + \frac{1}{2}\sigma^2}$ (trung bình số học).

Không khó để thấy rằng tích của trung bình hài và trung bình số học mang lại bình phương của trung bình hình học, nghĩa là

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) = \mathrm{GM}^2(X).$$

Vì tất cả các giá trị đều dương, chúng ta có thể lấy gốc squre và thấy rằng giá trị trung bình hình học của là giá trị trung bình hình học của trung bình hài hòa của và trung bình số học của$X$$X$$X$ , nghĩa là

$$\mathrm{GM}(X) = \sqrt{ \mathrm{HM}(X) \cdot \mathrm{AM}(X) }.$$

Hơn nữa, bất đẳng thức HM-GM-AM nổi tiếng

$$\mathrm{HM}(X) \leq \mathrm{GM}(X) \leq \mathrm{AM}(X)$$

có thể được thể hiện như

$$\mathrm{HM}(X) \cdot \sqrt{\mathrm{GVar}(X)} = \mathrm{GM}(X) = \dfrac{\mathrm{AM}(X)}{\sqrt{\mathrm{GVar}(X)}},$$

trong đó là phương sai hình học.$\mathrm{GVar}(X) = \mathrm{e}^{\sigma^2}$

Để hoàn thiện, cũng có những phân phối mà giá trị trung bình không được xác định rõ. Một ví dụ kinh điển là phân phối Cauchy ( câu trả lời này có một lời giải thích hay về lý do tại sao). Một ví dụ quan trọng khác là phân phối Pareto với số mũ nhỏ hơn 2.

Mặc dù đúng là giá trị trung bình và giá trị kỳ vọng được xác định một cách chính xác, đối với phân phối sai lệch, quy ước đặt tên này trở nên sai lệch.

Hãy tưởng tượng bạn đang hỏi một người bạn về giá nhà đất ở thành phố của cô ấy bởi vì bạn thực sự thích nó ở đó và thực sự nghĩ về việc chuyển đến thành phố đó.

Nếu việc phân phối giải thưởng nhà ở là không đồng đều và đối xứng, thì bạn của bạn có thể cho bạn biết giá trung bình của nhà ở và thực sự bạn có thể mong đợi tìm thấy hầu hết các ngôi nhà trên thị trường xung quanh giá trị trung bình đó .

Tuy nhiên, nếu sự phân phối giá nhà ở không đồng đều và sai lệch, ví dụ như lệch phải với hầu hết các ngôi nhà trong phạm vi giá thấp hơn ở bên trái và chỉ một số nhà cắt cổ ở bên phải, thì giá trị trung bình sẽ bị "lệch" sang giá cao bên phải.

Đối với phân phối giá nhà lệch lạc, không chính thống này, bạn có thể mong đợi để tìm thấy hầu hết các ngôi nhà trên thị trường xung quanh trung bình .