Tại sao công cụ ước tính OLS của hệ số AR (1) bị sai lệch?

Tôi đang cố gắng để hiểu tại sao OLS đưa ra một công cụ ước tính sai lệch của quy trình AR (1). Hãy xem xét Trong mô hình này, tính ngoại lệ nghiêm ngặt bị vi phạm, tức là và có mối tương quan với nhau nhưng và không được tương thích. Nhưng nếu điều này là đúng, thì tại sao các dẫn xuất đơn giản sau không giữ được? ytεtyt-1εtplim

$$\begin{aligned} y_{t} &= \alpha + \beta y_{t-1} + \epsilon_{t}, \\ \epsilon_{t} &\stackrel{iid}{\sim} N(0,1). \end{aligned}$$ $y_t$$\epsilon_t$$y_{t-1}$$\epsilon_t$ $$\begin{aligned} \text{plim} \ \hat{\beta} &= \frac{\text{Cov}(y_{t},y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\frac{\text{Cov}(\alpha + \beta y_{t-1}+\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &= \beta+ \frac{\text{Cov}(\epsilon_{t}, y_{t-1})}{\text{Var}(y_{t-1})} \\ &=\beta. \end{aligned}$$

Như đã thảo luận về các ý kiến, tính không thiên vị là một thuộc tính mẫu hữu hạn và nếu được giữ thì nó sẽ được biểu thị bằng

$$E (\hat \beta ) = \beta$$

(trong đó giá trị mong đợi là thời điểm đầu tiên của phân phối mẫu hữu hạn)

trong khi tính nhất quán là một thuộc tính tiệm cận được biểu thị bằng

$$\text{plim} \hat \beta = \beta$$

OP cho thấy rằng mặc dù OLS trong bối cảnh này là sai lệch, nó vẫn nhất quán.

$$E (\hat \beta ) \neq \beta\;\;\; \text{but}\;\;\; \text{plim} \hat \beta = \beta$$

Không có mâu thuẫn ở đây.

@Alecos giải thích độc đáo tại sao một plim chính xác và không thiên vị không giống nhau. Đối với các nguyên nhân sâu xa tại sao ước lượng không thiên vị, nhớ lại rằng unbiasedness của một ước lượng đòi hỏi rằng tất cả các sai số là độc lập trung bình của tất cả các giá trị regressor, .$E(\epsilon|X)=0$

Trong trường hợp hiện tại, ma trận regressor bao gồm các giá trị , do đó - xem bình luận mpiktas' - điều kiện chuyển thành E ( ε s | y 1 , ... , y T - 1 ) = 0 cho tất cả s = 2 , ... , T .$y_1,\ldots,y_{T-1}$$E(\epsilon_s|y_1,\ldots,y_{T-1})=0$$s=2,\ldots,T$

Ở đây chúng tôi có

Ngay cả dưới giả thiết E ( ε t y t - 1 ) = 0 chúng ta có mà E ( ε t y t ) = E ( ε t ( β y t - 1 + ε t ) ) = E ( ε 2 t ) ≠ 0. Nhưng,

$$\begin{equation*} y_{t}=\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}, \end{equation*}$$ $E(\epsilon_{t}y_{t-1})=0$ $$\begin{equation*} E(\epsilon_ty_{t})=E(\epsilon_t(\beta y_{t-1}+\epsilon _{t}))=E(\epsilon _{t}^{2})\neq 0. \end{equation*}$$ cũng là một regressor cho các giá trị trong tương lai mô hình AR ain, như y t + 1 = β y t + ε t + 1 .$y_t$$y_{t+1}=\beta y_{t}+\epsilon_{t+1}$

Mở rộng trên hai câu trả lời tốt. Viết công cụ ước tính OLS:

$$\hat\beta =\beta + \frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}$$

Đối với thiên vị chúng ta cần

$$E\left[\frac{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}\varepsilon_t}{\sum_{t=2}^Ty_{t-1}^2}\right]=0.$$

$E(\varepsilon_t|y_{1},...,y_{T-1})=0,$$t$$\varepsilon_t$$y_{t},y_{t+1},...,y_{T}$